《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (杭州滨江区江南实验中学三模)已知函数$y = x^2 + bx + 3b$($b$为常数).
(1)若图象经过点$(-2,4)$,判断图象是否经过点$(3,9)$,并请说明理由;
(2)设该函数图象的顶点坐标为$(m,n)$,当$b$的值变化时,求$m$与$n$的关系式;
(3)若该函数图象不经过第三象限,当$-6\leqslant x\leqslant 1$时,函数的最大值与最小值之差为$16$,求$b$的值.
思路分步拆解
(1)代入点求参数,确定二次函数解析式,即可判断得解;
(2)(第一步:由抛物线顶点坐标公式建立$m,n$关于$b$的关系式)抛物线顶点坐标为$(\boldsymbol{-\frac{b}{2}},\boldsymbol{\frac{12b - b^2}{4}})$$= (m,n)$$= (m,n)$,即$m =$$\boldsymbol{-\frac{b}{2}}$$\boldsymbol{-\frac{b}{2}}$,$n =$$\boldsymbol{\frac{12b - b^2}{4}}$$\boldsymbol{\frac{12b - b^2}{4}}$;
(第二步:以$b$为中间参数化简)将$b$用含$m$的式子表示为$\boldsymbol{b$$= -2m$$= -2m}$,代入$n$关于$b$的解析式即可得解;
(3)(第一步:由抛物线图象的性质确定参数$b$的取值范围)因为抛物线不经过第三象限,所以当$x =$$0$$0$时,$y\boldsymbol{\geqslant}0$,解得$b\boldsymbol{\geqslant}0$,结合顶点坐标,进一步解得$b\boldsymbol{\geqslant}0$;
(第二步:分类讨论)当$-6\leqslant x\leqslant 1$时,$x =$$\boldsymbol{-\frac{b}{2}}$$\boldsymbol{-\frac{b}{2}}$时函数取最小值,分类讨论函数的最大值即可得解.

答案： 思路分步拆解：$(2)-\frac{b}{2} \geq \geq 0 \leq 12-\frac{1}{2}b$
$b=-2m (3)\geq \geq 0 \leq 12-\frac{1}{2}b$
解：
(1)经过. 理由如下：
把点(-2,4)代入$y=x^{2}+bx+3b$中，
得$4-2b+3b=4,\therefore b=0，$
$\therefore$此函数解析式为$y=x^{2},\therefore$当x=3时，y=9，
$\therefore$图象经过点(3,9).
$(2)\because$抛物线$y=x^{2}+bx+3b(b$为常数)的顶点坐标是(m,n)，
$\therefore-\frac{b}{2}=m,\frac{12b - b^{2}}{4}=n,\therefore b=-2m.$
把b=-2m代入$\frac{12b - b^{2}}{4}=n，$
得$n=\frac{-24m - 4m^{2}}{4}=-m^{2}-6m，$
$\therefore m$与n的关系式为$n=-m^{2}-6m.$
(3)由题意，把x=0代入$y=x^{2}+bx+3b，$得y=3b.
$\because$抛物线不经过第三象限，$\therefore3b\geq0，$即$b\geq0.$
与y轴交于非负半轴
$\because y=x^{2}+bx+3b=(x+\frac{1}{2}b)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+3b，$
$\therefore$抛物线顶点为$(-\frac{1}{2}b,-\frac{b^{2}}{4}+3b).$
$\because-\frac{1}{2}b\leq0，$当$-\frac{b^{2}}{4}+3b\geq0$时，抛物线不经过第三象限，
解得$b\leq12,\therefore0\leq b\leq12,\therefore-6\leq-\frac{1}{2}b\leq0，$
$\therefore$当$-6\leq x\leq1$时，函数最小值为$y=-\frac{b^{2}}{4}+3b，$把x=-6代入$y=x^{2}+bx+3b，$得y=36-3b，把x=1代入$y=x^{2}+bx+3b，$得y=1+4b，当$36-3b-(-\frac{b^{2}}{4}+3b)=16$时，
解得b=20(不符合题意，舍去)或b=4.
当$1+4b-(-\frac{b^{2}}{4}+3b)=16$时，
解得b=6或b=-10(不符合题意，舍去).
综上所述，b的值为4或6.