《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (茂名高州二模)如图，在四边形$ ABCD $中，$ AD // BC $，$ \angle D = 90° $，$ AB = BC = 5 $，$ \tan A = \frac{4}{3} $。动点$ P $沿路径$ A \to B \to C \to D $从点$ A $出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点$ D $运动。过点$ P $作$ PH \perp AD $，垂足为$ H $。设点$ P $运动的时间为$ x $(单位：$ s $)，$ \triangle APH $的面积为$ y $，则$ y $关于$ x $的函数图象大致是(A)。

思路分步拆解
(第一步：根据题意确定动点$ P $的运动位置)根据题意可判断函数为分段函数，每段图象分别表示点$ P $在$ AB $上运动，点$ P $在$ BC $上运动，点$ P $在$ CD $上运动；
(第二步：分别求出点$ P $运动时的函数解析式)点$ P $在$ AB $上运动时的函数解析式为 y = \boldsymbol{$\frac{6}{25}x^{2}$} ，点$ P $在$ BC $上运动时的函数解析式为 y = \boldsymbol{$2x - 4$} ，点$ P $在$ CD $上运动时的函数解析式为 y = \boldsymbol{$- 4x + 56$} ；
(第三步：确定图象)根据确定的函数解析式，确定相应的函数图象，进而求解。

答案：
典例　思路分步拆解:$\frac{6}{25}x^{2}$ $2x - 4$ $- 4x + 56$
A　[解析]①当点P在AB上运动时.
∵AB = BC = 5,tanA = $\frac{4}{3}$,
∴AP:PH:AH = 5:4:3.
∵AP = x,
∴PH = $\frac{4}{5}x$,AH = $\frac{3}{5}x$,y = $\frac{1}{2}$AH·PH = $\frac{1}{2}$·$\frac{3}{5}x$·$\frac{4}{5}x$ = $\frac{6}{25}x^{2}$,图象为抛物线，且当x = 5时,y = 6;②当点P在BC上运动时,如图
(1),过点B作BE⊥AD于点E.
　　 　　　
∵tanA = $\frac{4}{3}$,AB = 5,
∴BE = 4,AE = 3.
∵AB + BP = x,
∴BP = EH = x - 5,
∴AH = 3 + x - 5 = x - 2,
∴y = $\frac{1}{2}$AH·PH = $\frac{1}{2}$·(x - 2)·4 = 2x - 4,为一次函数,且当x = 10时,y = 16;③当点P在CD上运动时,如图
(2),此时,AD = AH = 3 + 5 = 8.
∵AB + BC + CP = x,
∴PH = AB + BC + CD - x = 14 - x,
∴y = $\frac{1}{2}$AH·PH = $\frac{1}{2}$×8·(14 - x) = - 4x + 56,且当x = 14时,y = 0.故B,C，D不正确，A正确.故选A.