《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 类比法 [综合与实践]如图，在$ Rt\triangle ABC $中，点$ D $是斜边$ AB $上的动点(点$ D $与点$ A $不重合)，连接$ CD $，以$ CD $为直角边在$ CD $的右侧构造$ Rt\triangle CDE $，$ \angle DCE = 90° $，连接$ BE $，$ \frac{CE}{CD} = \frac{CB}{CA} = m $。
[特例感知](1)如图(1)，当$ m = 1 $时，$ AD $与$ BE $之间的位置关系是AD⊥BE，数量关系是AD=BE。
[类比迁移](2)如图(2)，当$ m \neq 1 $时，猜想$ AD $与$ BE $之间的位置关系和数量关系，并证明猜想。
[拓展应用](3)在(1)的条件下，点$ F $与点$ C $关于$ DE $对称，连接$ DF,EF,BF $，如图(3)。已知$ AC = 6 $，设$ AD = x $，四边形$ CDFE $的面积为$ y $。
①求$ y $与$ x $的函数解析式，并求出$ y $的最小值；
②当$ BF = 2 $时，请直接写出$ AD $的长度。

答案：
1.
(1)AD⊥BE　AD=BE　[解析]
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$=1,
∴CE=CD,CB=CA.
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,∠A=∠ABC=45°.
在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\ \angle ACD = \angle BCE, \\ CD = CE,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°,
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=90°,即AD⊥BE,AD=BE.
(2)BE=mAD,AD⊥BE.证明如下:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.
又$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$=m,
∴△ADC∽△BEC,
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{CB}{CA}$=m,∠CBE=∠A,则BE=mAD.
又∠A+∠ABC=90°,
∴∠CBE+∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AD⊥BE.
(3)①如图，连接CF交DE于点O,由
(1)知,AC=BC=6,∠ACB=90°,
∴AB=6√2,
∴BD=6$\sqrt{2}$−x,且AD=BE=x,∠DBE=90°,
∴DE²=BD²+BE²=(6√2−x)²+x².
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE=EF,CD=DF.
∵CD=CE,
∴CD=DF=EF=CE.
∵∠DCE=90°,
∴四边形CDFE是正方形，
∴y=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$[(6√2−x)²+x²]=x²−6$\sqrt{2}$x+36,
∴y与x的函数解析式为y=x²−6$\sqrt{2}$x+36(0＜x≤6$\sqrt{2}$).由y=x²−6$\sqrt{2}$x+36=(x−3$\sqrt{2}$)²+18,得其最小值为18.
②如图，过点D作DH⊥AC于点H,则△ADH是等腰直角三角形，连接OB，
∴AH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x,
∴CH=6−$\frac{\sqrt{2}}{2}$x,

由直角三角形性质,得OB=OE=OD=OC=OF,
∴OB=$\frac{1}{2}$CF,
∴∠CBF=90°.
∵BC=6,BF=2,
∴CF= $\sqrt{BC²+BF²}$=2$\sqrt{10}$,
则CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=2$\sqrt{5}$.
∵CH²+DH²=CD²,
∴(6−$\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²+($\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²=(2$\sqrt{5}$)²,解得x=4$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$,
∴AD=4$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$.