《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点(点$A$在点$B$的左侧)，与$y$轴交于点$C$，点$D$为抛物线的顶点，$B$，$C$两点的坐标分别为$(3,0)$和$(0,3)$。
(1) 求抛物线所对应的函数解析式；
(2) 若点$M$是第一象限的抛物线上的点，过点$M$作$x$轴的垂线交$BC$于点$N$，求线段$MN$的最大值。

思路分步拆解
(1) 把$B(3,0)$，$C(0,3)$分别代入$y = -x^2 + bx + c$，得$b = $2$$，$c = $3$$，即可求解；
(2) (第一步：设未知数表示出$MN$)设点$M$的横坐标为$t(0 ＜ t ＜ 3)$，分别表示$M$，$N$两点的坐标为$($t$,$−t²+2t+3$)$，$($t$,$−t+3$)$，用纵坐标的差表示铅直高度；
(第二步：求二次函数的最值)构建二次函数即可求解。

答案： 典例思路分步拆解:
(1)2　3
(2)t　−t²+2t+3　t　−t+3
解:
(1)把B(3,0),C(0,3)分别代入y=−x²+bx+c,
得$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，
∴抛物线解析式为y=−x²+2x+3。
(2)设M(t,−t²+2t+3)(0＜t＜3)。
由B(3,0),C(0,3),易得直线BC的解析式为y=−x+3。
∵MN//y轴,
∴N(t,−t+3),
∴MN=−t²+2t+3−(−t+3)=−t²+3t。
∵MN=−(t - $\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时,MN有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。