《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (广东模拟)如图,顶点为$ D $的抛物线$ y = -x^2 + bx + c $与$ x $轴交于$ A,B $两点,与$ y $轴交于点$ C $,直线$ BC $的解析式为$ y = -x + 3 $.

(1)求抛物线的解析式.
(2)点$ P $满足到$ A,B,C,D $四点距离之和最小,求点$ P $的坐标.
(3)在坐标轴上是否存在一点$ Q $,使得以点$ Q,A,C $为顶点的三角形与$ \triangle BCD $相似? 若存在,请直接写出点$ Q $的坐标;若不存在,请说明理由.
思路分步拆解
(1)(第一步:求点$ B $,点$ C $坐标)由直线$ BC $的解析式求得点$ B $坐标为(3,0),点$ C $坐标为(0,3);
(第二步:利用待定系数法求抛物线解析式)将点$ B $,点$ C $的坐标代入$ y = -x^2 + bx + c $求得抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x+3$;
(2)(第一步:根据两点之间线段最短确定所求点)连接$ AD,BC $,交点即为点P;
(第二步:利用$ BC,AD $的解析式求交点$ P $)先求出$ AD $的解析式,联立$ BC,AD $的解析式求出点$ P $坐标为$(\frac{1}{3},\frac{8}{3})$.
(3)(第一步:数形结合)根据坐标求出$ CD,BC,BD $的长,并证得$ \triangle BCD $为直角三角形;
(第二步:分类讨论)分为点$ Q $在$x$轴和$y$轴两种情况求解.

答案：
解:
(1)把$x=0$代入$y=-x+3$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$。
把$y=0$代入$y=-x+3$，得$x=3$，
$\therefore B(3,0)$。
将$C(0,3)$，$B(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，
得$\begin{cases}-9+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$。
(2)如图
(1)，连接$AD$，交$BC$于点$P$。
$\because DP+AP\geqslant AD$，$BP+CP\geqslant BC$，
$\therefore DP+AP+BP+CP\geqslant BC+AD$，

当点$P$在$AD$与$BC$的交点上时，
点$P$满足到$A$，$B$，$C$，$D$四点距离之和最小。
$\because$点$D$是抛物线$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$的顶点，
$\therefore$对称轴为直线$x=1$，$D(1,4)$。
$\because$点$A$，$B(3,0)$是抛物线与$x$轴的交点，
$\therefore$点$A$为$(-1,0)$，设$AD$的解析式为$y=kx+b$，
$\therefore\begin{cases}-k+b=0,\\k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore AP$的解析式为$y=2x+2$，
联立$\begin{cases}y=2x+2,\\y=-x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1}{3},\\y=\frac{8}{3},\end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{8}{3})$。
(3)$\because C(0,3)$，$B(3,0)$，$D(1,4)$，$\therefore CD=\sqrt{2}$，$BC=3\sqrt{2}$，$DB=2\sqrt{5}$，$\therefore CD^{2}+CB^{2}=BD^{2}$，$\therefore\angle DCB=90^{\circ}$。
$\because A(-1,0)$，$C(0,3)$，$\therefore OA=1$，$CO=3$，
$\therefore AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{10}$，$\therefore\frac{AO}{CO}=\frac{1}{3}$。
又$\angle AOC=\angle DCB=90^{\circ}$，$\therefore\triangle AOC\sim\triangle DCB$，
当$Q$的坐标为$(0,0)$时，$\triangle AQC\sim\triangle DCB$。
如图
(2)，连接$AC$，过点$C$作$CQ\perp AC$，交$x$轴于点$Q$。
$\because\triangle ACQ$为直角三角形，$CO\perp AQ$，$\therefore\triangle ACQ\sim\triangle AOC$。
又$\triangle AOC\sim\triangle DCB$，$\therefore\triangle ACQ\sim\triangle DCB$，$\therefore\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AQ}$，
$\therefore\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{AQ}$，解得$AQ=10$，$\therefore Q(9,0)$。


如图
(3)，连接$AC$，过点$A$作$AQ\perp AC$，交$y$轴于点$Q$。
不要忽略点$Q$在$y$轴的情况
$\because\triangle ACQ$为直角三角形，$AO\perp CQ$，$\therefore\triangle QAC\sim\triangle AOC$。
又$\triangle AOC\sim\triangle DCB$，$\therefore\triangle QAC\sim\triangle DCB$，
$\therefore\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{CQ}$，$\therefore\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{CQ}$，解得$CQ=\frac{10}{3}$，
$\therefore OQ=CQ - CO=\frac{1}{3}$，$\therefore Q(0,-\frac{1}{3})$。
注意点$Q$在$y$轴负半轴
综上所述，当点$Q$的坐标为$(0,0)$或$(9,0)$或$(0,-\frac{1}{3})$时，以$A$，$C$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle BCD$相似。