《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 倍长中线法(云南德宏州期末)已知,如图,在四边形$ABCD$和$\triangle APQ$中,$AD// BC$,$\angle ABC = \angle ADC = \angle APQ$.点$P$是边$BC$上一点,且$PA = PQ$,$M$是$BC$延长线上一点,连接$QM$.
(1)如图(1),求证:四边形$ABCD$是平行四边形;
(2)如图(1),若$AB = BC$,$MC = BP$,求证:$MC = MQ$;
(3)如图(2),连接$DQ$,$DM$,若$AB = BC$,$BP = MP$,$\angle ABC = 90°$,$DQ = \sqrt{3}$,求$DM$的长.
精题详解

答案：
1.
(1)
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCM.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC=∠DCM,
∴AB//CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)
∵MC=BP,
∴MC+PC=BP+PC,即PM=BC.
∵AB=BC,
∴AB=PM.
∵∠BAP+∠APB+∠ABC=180°,∠MPQ+∠APB+∠APQ=180°,∠ABC=∠APQ,
∴∠BAP=∠MPQ.
∵AB=PM,∠BAP=∠MPQ,PA=PQ,
∴△ABP≌△PMQ(SAS),
∴BP=MQ.
∵MC=BP,
∴MC=MQ.
(3)如图，延长QP到点N,使PN=PQ,连接BN,AN.

∵BP=MP,∠BPN=∠MPQ,PN=PQ,
∴△PBN≌△PMQ(SAS),
∴BN=MQ,∠BNP=∠MQP.
∵∠APQ=∠ABC=90°,PN=PQ,
∴AP垂直平分QN,
∴AN=AQ,
∴∠ANQ=∠AQN.
∵PA=PQ,∠APQ=90°,
∴∠PAQ=∠PQA=45°,
∴∠ANQ=∠AQN=45°,
∴∠NAQ=90°,
即∠NAB+∠BAQ=90°.
由
(1)可得四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠DAQ+∠BAQ=90°.又∠NAB+∠BAQ=90°,
∴∠NAB=∠QAD.
∵AB=AD,∠NAB=∠QAD,AN=AQ,
∴△ABN≌△ADQ(SAS),
∴BN=DQ,∠ANB=∠AQD.
∵BN=MQ,
∴MQ=DQ=$\sqrt{3}$.
∵∠BNP=∠MQP,
∴∠AQD+∠PQM=∠ANB+∠BNP=∠ANQ=45°,
∴∠DQM=∠AQD+∠MQP+∠AQN=90°.
在Rt△DMQ中,由勾股定理,得$DM^{2}$=$DQ^{2}$+$QM^{2}$,即$DM^{2}$=$(\sqrt{3})^{2}$+$(\sqrt{3})^{2}$=6,解得DM=$\sqrt{6}$(负值舍去),
∴DM的长为$\sqrt{6}$.