《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 在平面直角坐标系$ xOy $中，已知点$ A $在$ y $轴正半轴上。
(1)如果四个点$ (0,0),(0,2),(1,1),(-1,1) $中恰有三个点在二次函数$ y = ax^2 $($ a $为常数，且$ a \neq 0 $)的图象上。
①$ a = $1$ $；
②如图(1)，已知菱形$ ABCD $的顶点$ B,C,D $在该二次函数的图象上，且$ AD \perp y $轴，求菱形的边长；
③如图(2)，已知正方形$ ABCD $的顶点$ B,D $在该二次函数的图象上，点$ B,D $在$ y $轴的同侧，且点$ B $在点$ D $的左侧，设点$ B,D $的横坐标分别为$ m,n $，试探究$ n - m $是否为定值。如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由。
(2)已知正方形$ ABCD $的顶点$ B,D $在二次函数$ y = ax^2 $($ a $为常数，且$ a ＞ 0 $)的图象上，点$ B $在点$ D $的左侧，设点$ B,D $的横坐标分别为$ m,n $，直接写出$ m,n $满足的等量关系式。

答案：
3.
(1)①1　[解析]在y=ax²中,令x=0得y=0,
∴(0,0)在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上,(0,2)不在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上.
∵四个点(0,0),(0,2),(1,1),(−1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上,
∴二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上的三个点是(0,0),(1,1),(−1,1),
把(1,1)代入y=ax²,得a=1.
②设BC交y轴于点E,如图
(1).
设菱形的边长为2t,则AB=BC=CD=AD=2t.
∵B,C关于y轴对称，
∴BE=CE=t,
∴B(−t,t²),
∴OE=t².
∵AE= $\sqrt{AB²−BE²}$=√3t,
∴OA=OE+AE=t²+√3t,
∴D(2t,t²+√3t),把D(2t,t²+√3t)代入y=x²,得t²+√3t=4t²,解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=0(舍去),
∴菱形的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.


③n−m为定值.理由如下:
过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,如图
(2).
∵点B,D的横坐标分别为m,n,
∴B(m,m²),D(n,n²),
∴BF=m,OF=m²,DE=n,OE=n².
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°,AD=AB,
∴∠FAB=90°−∠EAD=∠EDA.
∵∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE,AF=DE,
∴m=n²−AF−m²,AF=n,
∴m=n²−n−m²,
∴m+n=(n−m)(n+m).
∵点B,D在y轴的同侧，
∴m+n≠0,
∴n−m=1.
(2)过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E.
∵点B,D的横坐标分别为m,n,
∴B(m,am²),D(n,an²),
①当B，D在y轴左侧时，如图
(3).
注意分类讨论B,D的位置
BF=−m,OF=am²,DE=−n,OE=an²,
同理可得△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE,AF=DE,
∴−m=am²−AF−an²,AF=−n,
∴−m=am²+n−an²,
∴m+n=a(n−m)(n+m).
∵m+n≠0,
∴n−m=$\frac{1}{a}$;

②当B在y轴左侧,D在y轴右侧时，如图
(4).
BF=−m,OF=am²,DE=n,OE=an²,
同理可得△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE,AF=DE,
∴−m=am²+AF−an²,AF=n,
∴−m=am²+n−an²,
∴m+n=a(n+m)(n−m),
∴m+n=0或n−m=$\frac{1}{a}$;
③当B,D在y轴右侧时,如图
(5).
BF=m,OF=am²,DE=n,
OE=an².
同理可得△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE,AF=DE,
∴m=an²−AF−am²,AF=n,
∴m=an²−n−am²,
∴m+n=a(n+m)(n−m).
∵m+n≠0,
∴n−m=$\frac{1}{a}$.
综上，m,n满足的等量关系式为m+n=0或n−m=$\frac{1}{a}$.

4. （青岛李沧区志远中学三模）如图，已知：在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ABC = 90° $，$ AB = 8 \, cm $，$ BC = 6 \, cm $，$ D $是$ AC $边上的中点。过点$ C $作$ AC $的垂线$ CE $，过点$ D $作$ BC $的平行线，交$ CE $于点$ E $，点$ Q $从点$ E $出发沿$ ED $方向往点$ D $匀速运动，速度为$ 2 \, cm/s $，同时点$ P $从点$ B $出发沿$ BC $方向往点$ C $匀速运动，速度为$ 1 \, cm/s $，当一点到达终点，另一点也随之停止。连接$ PQ $，过点$ Q $作$ QH \perp CE $于点$ H $，连接$ PH $，$ F $是线段$ CE $的中点。设运动时间为$ t(s) $，解答下列问题：
(1)当四边形$ QPCE $为平行四边形时，求$ t $的值。
(2)设$ \triangle PQH $的面积为$ S $，求出$ S $与$ t $的函数关系式。
(3)是否存在某一时刻$ t $，使$ A,Q,F $三点在同一条直线上？若存在，请求出$ t $的值；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)
∵QE//PC,
∴当QE=CP时，四边形QPCE为平行四边形.
由题意可得,QE=2t,CP=6−t,
∴2t=6−t,解得t=2.
经检验，t=2满足题中运动状态，故t的值为2.
(2)在Rt△ABC中,AB=8cm,BC=6cm,
∴$AC= \sqrt{AB²+BC²}=10cm.$
∵D是边AC上的中点，
∴BD=CD=5cm.
∵DE//BC,
∴∠CDE=∠ACB.
在Rt△ABC中$,cos∠ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5},tan∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3},sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5},$
∴$cos∠CDE=\frac{3}{5},tan∠CDE=\frac{4}{3},sin∠CDE=\frac{4}{5}.$
∵CD⊥CE,
∴$CE=CD.tan∠CDE=\frac{20}{3}cm,DE=\frac{CD}{cosCDE}=\frac{25}{3}cm,$
∴点Q的运动时间为$\frac{25}{3}÷2=\frac{25}{6}s,$点P的运动时间为6s,
∴t的取值范围为$0≤t≤\frac{25}{6}.$
如图
(1),延长QH交BC延长线于点G,过点H作HM ⊥CG于点M,过点Q作QN⊥BC于点N，
则$QN=CD.sin∠CDQ=5×\frac{4}{5}=4(cm).$
∵AC⊥CE,QH⊥CE,
∴CD//GQ.
∵DQ//CG,
∴四边形DCGQ为平行四边形，
∴$CG=DQ=\frac{25}{3}−2t,∠G=∠CDE,$
∴$PG=CP+CG=6−t+\frac{25}{3}−2t=\frac{43}{3}−3t,$
∴$HG=CG.cosG=(\frac{25}{3}−2t).\frac{3}{5},CH=CG.sinG=(\frac{25}{3}−2t).\frac{4}{5}.$
∵$\frac{1}{2}CG.HM=\frac{1}{2}HG.CH,$
(经常利用等面积法求某边上的高