《2025年实验班中考数学压轴题》

典例(广安二中三模)综合与实践：
实践操作：在矩形$ ABCD $中，$ AB = 4 $，$ AD = 3 $，现将纸片折叠，点$ D $的对应点记为点$ P $，折痕为$ EF $($ E $，$ F $是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原。
(1) 初步思考：若点$ P $落在矩形$ ABCD $的边$ AB $上(如图(1))。
① 当点$ P $与点$ A $重合时，$ \angle DEF = $90°$ $，当点$ E $与点$ A $重合时，$ \angle DEF = $45°$ $；
② 当点$ E $在$ AB $上，点$ F $在$ DC $上时(如图(2))，求证：四边形$ DEPF $为菱形。
(2) 深入探究：点$ F $与点$ C $重合，点$ E $在$ AD $上，线段$ BA $与线段$ FP $交于点$ M $(如图(3))。是否存在使得线段$ AM $与线段$ DE $的长度相等的情况？若存在，请求出线段$ AE $的长度；若不存在，请说明理由。

思路分步拆解
(1) ① 画出符合题意的草图，当点$ P $与点$ A $重合时，$ EF $是$ AD $的$ $中垂线$ $，$ \angle DEF = $90$° $，当点$ E $与点$ A $重合时，$ \angle DEF = $$\frac{1}{2}$$ \angle DAB = $45$° $；
② (第一步：利用折叠性质证明全等)设$ EF $与$ PD $交于点$ O $，$ EF $是$ PD $的$ $中垂线$ $，先证得$ \triangle DOF $与$ \triangle POE $ $ $全等$ $，得出$ OF = OE $；
(第二步：证四边形$ DEPF $为菱形)根据对角线互相垂直平分的四边形是$ $菱形$ $得证；
(2) 利用勾股定理建立方程求解可得结果。
方法技巧
第(2)问用$ AE $表示$ DE $，$ AM $，$ MB $，通过勾股定理列方程，将几何问题转化为代数问题，是“存在性问题”的通用技巧。

答案：

(1)①90°　45°　[解析]当点P与点A重合时，如图
(1)所示.
∵EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90°.
　　
当点E与点A重合时，如图
(2)所示，
　　
此时∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°.
②当点E在AB上，点F在DC上时，如图
(3)所示.
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO,EF⊥PD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB,
∴∠FDO=∠EPO.
∵∠DOF=∠EOP,
∴△DOF≌△POE(ASA),
∴OF=OE,
∴四边形DEPF是菱形.
　　　　 　　　
(2)存在.如图
(4)，连接EM.
∵DE=EP=AM,EM=EM,∠EAM=∠MPE=90°,
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL),
∴AE=PM.
设AE=x,则AM=DE=3−x,
BM=AB−AM=4−(3−x)=x+1.
∵PM=AE=x,CP=CD=4,
∴MC=CP−PM=4−x.
在Rt△BCM中,BM²+BC²=MC²,
∴(x+1)²+3²=(4−x)²,解得x=$\frac{3}{5}$
∴线段AE的长为$\frac{3}{5}$.