《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 实验班原创 如图,动点$P$在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第$1$次从原点运动到点$(-1,1)$,第$2$次接着运动到点$(-2,0)$,第$3$次接着运动到点$(-3,2)$,…,按这样的运动规律,经过第$2025$次运动后,动点$P$的坐标是(B).
(第2题图)

A.$(2025,0)$
B.$(-2025,1)$
C.$(-2025,0)$
D.$(-2025,2)$

答案： 2. B [解析]根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(−1,1)，第2次接着运动到点(−2,0)，第3次接着运动到点(−3,2)，
∴第4次运动到点(−4,0)，第5次接着运动到点(−5,1)，⋯，
∴横坐标为运动次数的相反数，经过第2025次运动后，动点P的横坐标为−2025.
∵纵坐标为1,0,2,0，每4次一轮，2025÷4=506⋯⋯1，
∴经过第2025次运动后，动点P的纵坐标为四个数中的第1个，即为1，
∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是(−2025,1).故选B.

3. (甘南州中考)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点$O$出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点$A_1(0,1)$,$A_2(1,1)$,$A_3(1,0)$,$A_4(2,0)$,…,那么点$A_{2020}$的坐标为(1010,0).
(第3题图)

答案： 3. (1010,0) [解析]根据题意可知，A₁(0,1)，A₂(1,1)，A₃(1,0)，A₄(2,0)，A₅(2,1)，A₆(3,1)，A₇(3,0)，A₈(4,0)，⋯，可得坐标规律为A₄ₙ(2n,0)，A₄ₙ₊₁(2n,1)，A₄ₙ₊₂(2n+1,1)，A₄ₙ₊₃(2n+1,0).
∵2020=4×505，
∴点A₂₀₂₀的坐标为(1010,0).

4. (河北中考)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于$0$的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以$3$所得的余数(当余数为$0$时,向右平移;当余数为$1$时,向上平移;当余数为$2$时,向左平移),每次平移$1$个单位长度.
例:“和点”$P(2,1)$按上述规则连续平移$3$次后,到达点$P_3(2,2)$,其平移过程如下:
$P(2,1)$ $\xrightarrow[余0]{右}$ $P_1(3,1)$ $\xrightarrow[余1]{上}$ $P_2(3,2)$ $\xrightarrow[余2]{左}$ $P_3(2,2)$.
若“和点”$Q$按上述规则连续平移$16$次后,到达点$Q_{16}(-1,9)$,则点$Q$的坐标为(D).

A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$

答案： 4. D [解析]由题意点P₃(2,2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P₄(2,3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P₅(1,3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位，因此发现规律为：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，向向右平移1个单位，再按照向上、向左、向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q₁₆(−1,9)，则按照“和点”Q₁₆反向运动16次即可，可以分为两种情况：①Q₁₆先向右平移1个单位得到Q₁₅(0,9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，故矛盾，不成立；②Q₁₆先向下平移1个单位得到Q₁₅(−1,8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q₁₆，故符合题意，
∴点Q₁₆先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为(−1+7,9−8)，即(6,1)，
∴最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平移则为(5,1).故选D.

5. 新情境 软件绘图 (武汉中考)如图,小好同学用计算机软件绘制函数$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$的图象,发现它关于点$(1,0)$中心对称.若点$A_1(0.1,y_1)$,$A_2(0.2,y_2)$,$A_3(0.3,y_3)$,…,$A_{19}(1.9,y_{19})$,$A_{20}(2,y_{20})$都在函数图象上,这$20$个点的横坐标从$0.1$开始依次增加$0.1$,则$y_1 + y_2 + y_3 + \dots + y_{19} + y_{20}$的值是(D).
(第5题图)

A.$-1$
B.$-0.729$
C.$0$
D.$1$

答案： 5. D [解析]由题知，点A₁₀的坐标为(1,0)，则y₁₀=0.因为函数图象关于点(1,0)中心对称，所以y₉+y₁₁=y₈+y₁₂=⋯=y₁+y₁₉=0，若点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(x',y')，则$\begin{cases}\frac{x+x'}{2}=a,\frac{y+y'}{2}=b,\end{cases}$将x=2代入函数解析式得$y=2^{3}-3×2^{2}+3×2−1=1，$即y₂₀=1，所以y₁+y₂+y₃+⋯+y₁₉+y₂₀的值为1.故选D.

6. (广州骏景中学三模)在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把$P'(-y + 1,x + 1)$叫作点$P$的幸运点,已知点$A_1$的幸运点为$A_2$,点$A_2$的幸运点为$A_3$,点$A_3$的幸运点为$A_4$,…,这样依次得到$A_1$,$A_2$,$A_3$,$A_4$,…,$A_n$.若点$A_1$的坐标为$(0,2)$,则点$A_{2025}$的坐标是(A).

A.$(0,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,0)$
D.$(1,1)$

答案： 6. A [解析]
∵已知点A₁的幸运点为A₂，点A₂的幸运点为A₃，点A₃的幸运点为A₄，⋯，点A₁的坐标为(0,2)，
∴A₂(−1,1)，A₃(0,0)，A₄(1,1)，A₅(0,2)，⋯.以此类推，每4个点为一个循环组依次循环.
∵2025÷4=506⋯⋯1，
∴点A₂₀₂₅的坐标与A₁的坐标相同，为(0,2).故选A.

7. 中考新考法 新定义问题 (枣庄中考)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘$3$再加上$1$;若是偶数,就将该数除以$2$.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈$1→4→2→1$,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系$xOy$中,将点$(x,y)$中的$x,y$分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中$x,y$均为正整数.例如,点$(6,3)$经过第$1$次运算得到点$(3,10)$,经过第$2$次运算得到点$(10,5)$,以此类推.则点$(1,4)$经过$2024$次运算后得到点(2,1).
答案见$P8$

答案： 7. (2,1) [解析]点(1,4)经过1次运算后得到点为(1×3+1,4÷2)，即为(4,2)，经过2次运算后得到点为(4÷2,2÷2)，即为(2,1)，经过3次运算后得到点为(2÷2,1×3+1)，即为(1,4)，⋯，发现规律：点(1,4)经过3次运算后还是(1,4)，2024÷3=674⋯⋯2，
∴点(1,4)经过2024次运算后得到点(2,1).