《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (淮安淮安区模拟)如图,点$A(a,b)$是抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$上位于第二象限的一动点,$OB\perp OA$交抛物线于点$B(c,d)$.当点$A$在抛物线上运动的过程中,以下结论:
①$ac$为定值;
②$ac=-bd$;
③直线$AB$必过定点$(0,1)$.
其中正确的结论有(B).

A.$3$个
B.$2$个
C.$1$个
D.$0$个

答案：
1.B[解析]如图，过点$A$，$B$分别作$AC⊥x$轴于点$C$，$BD⊥x$轴于点$D$，
（作垂直，构造相似三角形）

则$AC = b$，$OC = - a$，$OD = c$，$BD = d$。$∵OA⊥OB$，
$∴∠AOC + ∠BOD = 90°$。$∵∠AOC + ∠OAC = 90°$，
$∴∠BOD = ∠OAC$。$∵∠ACO = ∠ODB = 90°$，$∴△OAC∽△BOD$，$∴\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}$，即$\frac{b}{c}=\frac{-a}{d}$，$∴ac = - bd$，故②正确；$∵ac = - bd$，$b = \frac{1}{2}a²$，$d = \frac{1}{2}c²$，$∴ac = -\frac{1}{4}a²c²$，$∴ac(\frac{1}{4}ac + 1)=0$，$a≠0$且$c≠0$，$∴ac = - 4$，故①正确；$∵b = \frac{1}{2}a²$，$d = \frac{1}{2}c²$，$∴A(a,\frac{1}{2}a²)$，$B(c,\frac{1}{2}c²)$，设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，代入$A$，$B$的坐标，得$\begin{cases}\frac{1}{2}a²=am + n\frac{1}{2}c²=cm + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}(a + c)\\n = -\frac{ac}{2}=2\end{cases}$，$∴$直线$AB$为$y=\frac{1}{2}(a + c)x + 2$，$∴$直线$AB$必过定点$(0,2)$，故③错误。故选B。

2. 实验班原创 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,以下结论:①$a+b+c＜ 0$;②$a-b+c＞1$;③$abc＞0$;④$4a-2b+c＜ 0$;⑤$8a+c＜ 0$.在以上$5$个结论中,其中一定成立的是①②③⑤.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

答案： 2.①②③⑤[解析]由函数图象，可得各系数的关系：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，则由图象可知，①当$x = 1$时，$y = a + b + c＜0$，正确；②当$x = - 1$时，$y = a - b + c＞1$，正确；③$abc＞0$，正确；④对称轴$x = - 1$，则$x = - 2$和$x = 0$时取值相同，则$4a - 2b + c = 1＞0$，错误；⑤对称轴$x = -\frac{b}{2a}= - 1$，$b = 2a$，又$x = 2$时，$y = 4a + 2b + c＜0$，代入$b = 2a$，则$8a + c＜0$，正确。故所有正确结论的序号是①②③⑤。

3. (广元中考)已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$($a,b,c$是常数且$a\neq 0$)的自变量$x$与函数$y$的部分对应值如表:
其中$0＜ m＜ 2$.以下结论:①$abc＜ 0$;②若抛物线经过点$(-2,y_{1})$,$(7,y_{2})$,则$y_{2}＞y_{1}$;③关于$x$的方程$\vert ax^{2}+bx+c\vert +1-s=0$有两个不相等的实数根;④$-\dfrac{16}{3}＜ s+n＜ -4$;⑤当$m=1$,$t\leqslant x\leqslant t+2$时,$y$的最小值是$1$,则$t=2$或$4$.
其中正确的结论有(C).

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 3.C[解析]$∵$当$x = 1$和$x = 3$时，均有$y = - 4$，
$∴$点$(1, - 4)$和点$(3, - 4)$关于对称轴对称，
（抛物线上两个不同的点，若其纵坐标相等，则它们关于抛物线的对称轴对称，反之亦成立）
$∴$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1 + 3}{2}=2$，
$∴$抛物线$y = ax²+bx + c(a≠0)$的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=2$，$∴b = - 4a$，
$∴$抛物线的解析式为$y = ax²-4ax + c$。
又当$x = 0$时，$y = c$，由表格可知，当$x = 0$时，$y = m$，
$∴c = m$。
$∵0＜m＜2$，$∴m＞ - 4$，$∴$抛物线的开口向上，
$∴a＞0$，$c＞0$，$b = - 4a＜0$，$∴abc＜0$，故①正确；
由①可知，抛物线$y = ax²+bx + c(a≠0)$开口向上，对称轴为直线$x = 2$。
$∵|7 - 2| = 5$，$|- 2 - 2| = 4$，$∴5＞4$。
（开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的$y$值越大，结合抛物线对称性来理解）
$∴y₂＞y₁$，故②正确；
$∵$抛物线$y = ax²+bx + c(a≠0)$开口向上，对称轴为直线$x = 2$，$∴(0,m)$与$(4,s)$关于对称轴对称，
$∴m = s$，由①可知，$m = c$，$∴m = s = c$。
$∵0＜s＜2$，当$s＞1$时，$0＜s - 1＜1$，把方程$|ax²+bx + c| + 1 - s = 0$整理，得$|ax²+bx + c| = s - 1$，
$∴|ax²+bx + c| = s - 1$有$4$个根；
当$s = 1$时，方程为$|ax²+bx + c| = 0$，
$∴$方程有$2$个根；当$s＜1$时，$s - 1＜0$，则有$|ax²+bx + c| = s - 1＜0$，
$∴$方程$|ax²+bx + c| + 1 - s = 0$无实根，故③错误；
$∵x = 2$时，$n = 4a + 2b + c$，当$x = 1$时，$a + b + c = - 4$，当$x = 3$时，$9a + 3b + c = - 4$，可得$b = - 4a$，$c = 3a - 4$，
$∴n = 4a + 2b + c = - a - 4$，$s = m = c = 3a - 4$，
$∴s + n = 2a - 8$。
$∵0＜m＜2$，$∴0＜3a - 4＜2$，解得$\frac{4}{3}＜a＜2$，
$∴-\frac{16}{3}＜2a - 8＜ - 4$，故④正确；
$∵$当$m = 1$时，$m = c = s = 1$，此时抛物线过点$(0,1)$，$(4,1)$，$∴$抛物线$y = ax²+bx + 1$与$y = 1$交于点$(0,1)$，$(4,1)$。$∵t≤x≤t + 2$时，$y$的最小值为$1$，
$∴t + 2 = 0$或$t = 4$，当$t + 2 = 0$时，$t = - 2$，
$∴t = - 2$或$t = 4$，与结论$t = 2$不符合，故⑤错误。
综上所述，正确结论为①②④，共$3$个。故选C。

4. (绥化中考)如图,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A(3,0)$,$B(-1,0)$,与$y$轴交于点$C(0,m)$,其中$-4＜ m＜ -3$.则下列结论:
①$a-c＞0$;
②方程$ax^{2}+bx+c-5=0$没有实数根;
③$-\dfrac{8}{3}＜ b＜ -2$;
④$\dfrac{a+b+c}{b-a}＞0$.
其中错误的个数有(A).

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 4.A[解析]二次函数$y = ax²+bx + c$与$x$轴交于点$A(3,0)$，$B(- 1,0)$，图象开口向上，
$∴$对称轴为直线$x = 1$，$a＞0$，
$∴b = - 2a$，当$x = - 1$时，$y = a - b + c = 0$，
$∴a - (- 2a)+c = 0$，即$3a + c = 0$，$∴c = - 3a$，
$∴a - c = a - (- 3a)=4a＞0$，故①正确；
$∵$图象开口向上，对称轴为直线$x = 1$，
$∴$当$x = 1$时，函数有最小值，最小值在$x$轴的下方，
$∴$抛物线$y = ax²+bx + c$与直线$y = 5$有两个不同的交点，$∴$方程$ax²+bx + c - 5 = 0$有两个不相等的实数根，故②错误；
$∵$二次函数$y = ax²+bx + c$与$y$轴交于点$C(0,m)$，其中$- 4＜m＜ - 3$，$∴$当$x = 0$，$y = c = m$，$∴ - 4＜c＜ - 3$。$∵c = - 3a$，$b = - 2a$，$c = \frac{3}{2}b$，
$∴ - 4＜\frac{3}{2}b＜ - 3$，解得$-\frac{8}{3}＜b＜ - 2$，故③正确；
当$x = 1$时，函数有最小值，最小值为$y = a + b + c＜0$，$b = - 2a$，$∴b - a = - 2a - a = - 3a＜0$，
$∴\frac{a + b + c}{b - a}＞0$，故④正确。
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
$∴$错误的有$1$个。故选A。

5. (广安中考)如图,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$($a,b,c$为常数,$a\neq 0$)的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,有下列结论:
①$abc＜ 0$;
②$4a+c＞2b$;
③关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的解是$x_{1}=-1$,$x_{2}=n$;
④$-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{n-1}{2}$.
其中正确的有(C).

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 5.C[解析]根据图象，可得抛物线的开口向下，交$y$轴于正半轴，$∴a＜0$，$c＞0$。
又抛物线的对称轴在$y$轴右侧，$x = -\frac{b}{2a}＞0$，
$∴b＞0$，$∴abc＜0$，故结论①正确；
由函数的图象，可得当$x = - 2$时，$y＜0$，即$4a - 2b + c＜0$，故结论②错误；
$∵$二次函数$y = ax²+bx + c$的图象交$x$轴于$A$，$B$两点，点$A(- 1,0)$，点$B(n,0)$，
$∴$关于$x$的方程$ax²+bx + c = 0$的解是$x₁ = - 1$，$x₂ = n$，$-\frac{b}{2a}=\frac{-1 + n}{2}$，故结论③④正确。
综上，结论正确的有$3$个。故选C。