《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] (山西模拟)平遥推光漆器是山西著名的工艺品,以手掌推出光泽而得名.如图(1)是平遥推光漆器的一个饰品盒盖,图(2)是其几何示意图(阴影部分为花朵图案).已知正六边形$ABCDEF$的边长为$2$,分别以正六边形每个顶点为圆心,其边长为半径画弧,构成花朵图案,则图中阴影部分的面积为(B).

A.$8\pi - 18$
B.$8\pi - 12\sqrt{3}$
C.$4\pi - 3\sqrt{3}$
D.$4\pi - 6\sqrt{3}$
思路分步拆解
(第一步:转化不规则图形面积)应用变换的眼光将分别以正六边形每个顶点为圆心,其边长为半径画弧构成的花朵图案看成是12个完全重合的弓形的面积,只需要求得其中一个弓形的面积;
(第二步:利用割补法将弓形放在扇形中求解)设正六边形的中心为$O$,连接$OA,OB$,过点$O$作$OH\perp AB$于点$H$,可证明$\triangle AOB$是等边三角形,并得到$OB = AB = 2$,$BH=\frac{1}{2}AB = 1$,则$OH=$$\sqrt{3}$,即可求得$\triangle AOB$的面积;
(第三步:利用和差法求弓形面积)根据$S_{阴影}=$12$(S_{扇形BAO}-S_{\triangle ABO})$计算求解.

答案：
B[解析]如图，设正六边形的中心为O，连接OA,OB，过点O作OH⊥AB于点H，
∴∠AOB=$\frac{360^{\circ}}{6}$ = 60°，OA = OB，
∴△AOB是等边三角形。
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴OB = AB = 2，BH = $\frac{1}{2}$AB = 1，
∴OH = $\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
∵BA = BO，
∴点O在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上，
∴S阴影 = 12(S扇形BAO - S△ABO) = 12×($\frac{60\pi×2^{2}}{360}$ - $\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$) = 8π - 12$\sqrt{3}$。故选B