《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 中考新法 操作探究 如图(1)，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $的顶点$ A,C $分别是直线$ y = -\frac{8}{3}x + 4 $与坐标轴的交点，点$ B $的坐标为$ (-2,0) $，点$ D $是边$ AC $上的一点，$ DE \perp BC $于点$ E $，点$ F $在边$ AB $上，且$ D,F $两点关于$ y $轴上的某点成中心对称，连接$ DF,EF $。设点$ D $的横坐标为$ m $，$ EF^2 $为$ l $，请探究：
①线段$ EF $长度是否有最小值。
②$ \triangle BEF $能否成为直角三角形。
小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。
(1)小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到$ l $随$ m $变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图(2)）。请你在图(2)中连线，观察图象特征并猜想$ l $与$ m $可能满足的函数类别；
(2)小明结合图(1)，发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想，请你求出$ l $关于$ m $的函数解析式及自变量的取值范围，并求出线段$ EF $长度的最小值；
(3)小明通过观察，推理，发现$ \triangle BEF $能成为直角三角形，请你求出当$ \triangle BEF $为直角三角形时$ m $的值。

答案：

(1)用描点法画出图象如图
(1)，由图象可知函数类别为二次函数.


(2)如图
(2),过点F,D分别作FG,DH垂直于y轴，垂足分别为G,H,记FD交y轴于点K，
则∠FGK=∠DHK=90°.
∵点D与点F关于y轴上的点K成中心对称，
∴KF=KD.
∵∠FKG=∠DKH,
∴Rt△FGK≌Rt△DHK(AAS),
∴FG=DH.
∵直线AC的解析式为y=−$\frac{8}{3}$x+4,
∴当x=0时,y=4,
∴A(0,4).
又B(−2,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴$\begin{cases}-2k + b = 0, \\ b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2, \\ b = 4,\end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
过点F作FR⊥x轴于点R.
∵点D的横坐标为m,
∴F(−m,−2m+4),
∴ER=2m,FR=−2m+4.
∵EF²=FR²+ER²,
∴l=EF²=8m²−16m+16=8(m−1)²+8.
令−$\frac{8}{3}$x+4=0,得x=$\frac{3}{2}$
∴0≤m≤$\frac{3}{2}$,
∴当m=1时，l的最小值为8,
∴EF的最小值为2$\sqrt{2}$.
(3)①∠FBE为定角，不可能为直角;
②当∠BEF=90°时,E点与O点重合,D点与A点,F点重合，此时m=0;
③如图
(3),当∠BFE=90°时,有BF²+EF²=BE².
由
(2)得EF²=8m²−16m+16,
又BR=−m+2,FR=−2m+4,
∴BF²=BR²+FR²=(−m+2)²+(−2m+4)²=5m²−20m+20.
又BE²=(m+2)²,
∴(5m²−20m+20)+(8m²−16m+16)=(m+2)²,
化简,得3m²−10m+8=0,解得m₁=$\frac{4}{3}$,m₂=2(不合题意，舍去),
∴m=$\frac{4}{3}$.
此处体现了求自变量取值范围的重要性
综上可得，当△BEF为直角三角形时,m=0或m=$\frac{4}{3}$.