《2025年实验班中考数学压轴题》

2. (吉安青原区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点$ A(-1,0) $，$ B(0,3) $在抛物线$ y = -x^2 + bx + c $上，该抛物线的顶点为$ C $。点$ P $为该抛物线上一点，其横坐标为$ m $。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 当$ BP \perp y $轴时，求$ \triangle BCP $的面积。
(3) 当该抛物线在点$ A $与点$ P $之间（包含点$ A $和点$ P $）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出$ m $的取值范围并写出这个定值。
(4) 在抛物线对称轴上是否存在一点$ E $，使$ \triangle ABE $是以$ AB $为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点$ E $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
2.
(1)把点$A(-1,0)$，$B(0,3)$代入$y = -x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$。
$\therefore$该抛物线的解析式为$y = -x^{2}+2x + 3$。
(2)由
(1)知，$y = -x^{2}+2x + 3 = -(x - 1)^{2}+4$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1,4)$。
当$BP\perp y$轴时，点$P$与点$B$关于对称轴$x = 1$对称，
$\therefore$点$P(2,3)$，$\therefore BP = 2$，点$C$到$BP$的距离为$1$。
$\therefore S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}× 2× 1 = 1$，$\therefore\triangle BCP$的面积为$1$。
(3)$\because$点$A(-1,0)$与点$D$关于直线$x = 1$对称，
$\therefore$点$D$为$(3,0)$，当点$P$在点$C$和点$D$之间时，点$A$与点$P$之间（包含点$A$和点$P$）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值$4$，
$\therefore$此时$m$的取值范围为$1\leq m\leq 3$。
(4)如图。由对称轴为直线$x = 1$可设$E(1,t)$，
$\therefore AB^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，$AE^{2}=2^{2}+t^{2}$，$BE^{2}=1^{2}+(t - 3)^{2}$。
$\because AB$为斜边，
$\therefore 4 + t^{2}+1+(t - 3)^{2}=10$，
解得$t = 1$或$t = 2$，
$\therefore E(1,1)$或$E(1,2)$。

3. 分类讨论思想 在平面直角坐标系$ xOy $中，抛物线$ L:y = ax^2 - 2ax - 8a(a \gt 0) $与$ x $轴交于$ A $，$ B $两点（点$ A $在点$ B $的左侧），其对称轴交$ x $轴于点$ C $，$ P $为抛物线第四象限上一点，连接$ AP $交$ y $轴于点$ E $。
(1) 求点$ C $的坐标及线段$ AB $的长。
(2) 当$ a = \frac{1}{2} $时，若点$ E $将线段$ AP $分成$ 2:3 $两部分，求点$ E $的坐标。
(3) $ Q $为线段$ AP $中点，直线$ CQ $交$ y $轴于点$ F $，现将抛物线$ L $绕平面内一点旋转$ 180° $得到抛物线$ L' $，使得点$ A $，$ P $都落在抛物线$ L' $上，记抛物线$ L' $与$ y $轴相交于$ G $。当$ OF = \frac{5}{2}OE $时，试探究是否存在$ a $的值，使$ \triangle PGA $是以$ AP $为斜边的直角三角形？若存在，请求出$ a $的值；若不存在，请说明理由。

答案：
3.
(1)$\because y = ax^{2}-2ax - 8a = a(x - 1)^{2}-9a$，$\therefore$对称轴为直线$x = 1$，$\therefore C(1,0)$。
当$y = 0$时，$ax^{2}-2ax - 8a = 0$，解得$x = -2$或$x = 4$，
$\therefore A(-2,0)$，$B(4,0)$，$\therefore AB = 6$。
(2)当$a = \frac{1}{2}$时，$y = \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$，
如图，过点$P$作$PH\perp x$轴交于点$H$，$\therefore PH// OE$，$\therefore$当$\frac{AE}{EP}=\frac{2}{3}$时，$\frac{AO}{AH}=\frac{EO}{PH}=\frac{2}{5}$。
涉及线段比例关系时，多考虑用相似。
$\because AO = 2$，$\therefore AH = 5$，$\therefore H(3,0)$，$\therefore P(3,-\frac{5}{2})$，
$\therefore PH=\frac{5}{2}$，$\therefore EO=\frac{2}{5}×\frac{5}{2}=1$，$\therefore E(0,-1)$；
当$\frac{AE}{EP}=\frac{3}{2}$时，$\frac{AO}{AH}=\frac{EO}{PH}=\frac{3}{5}$，$\therefore AH=\frac{10}{3}$，$\therefore H(\frac{4}{3},0)$，
$\therefore P(\frac{4}{3},-\frac{40}{9})$，
$\therefore PH=\frac{40}{9}$，$\therefore EO=\frac{3}{5}×\frac{40}{9}=\frac{8}{3}$，$\therefore E(0,-\frac{8}{3})$。
综上所述，点$E$的坐标为$(0,-1)$或$(0,-\frac{8}{3})$。
(3)存在$a$的值，使$\triangle PGA$是以$AP$为斜边的直角三角形。设$P(m,am^{2}-2am - 8a)$，则直线$AP$的解析式为$y = a(m - 4)x + 2a(m - 4)$，$\therefore E(0,2am - 8a)$。
$\because Q$为线段$AP$中点，$\therefore Q(\frac{m - 2}{2},\frac{am^{2}-2am - 8a}{2})$，
$\therefore$直线$CQ$的解析式为$y = a(m + 2)x - a(m + 2)$，
$\therefore F(0,-am - 2a)$。
$\because OF=\frac{5}{2}OE$，$\therefore am + 2a=\frac{5}{2}(-2am + 8a)$，解得$m = 3$，
$\therefore P(3,-5a)$。设平面内任意一点$M(s,t)$，抛物线绕点$M$旋转$180^{\circ}$后得到抛物线$y = -a(x + 1 - 2s)^{2}+2t + 9a$。
$\because A$，$P$在抛物线$L'$上，
$\therefore \begin{cases}-a(2s + 1)^{2}+2t + 9a = 0\\-a(4 - 2s)^{2}+2t + 9a = -5a\end{cases}$，解得$\begin{cases}s=\frac{1}{2}\\t = -\frac{5}{2}a\end{cases}$。
$\therefore$抛物线$L'$的解析式为$y = -ax^{2}+4a$，$\therefore G(0,4a)$。
$\because\triangle PGA$是以$AP$为斜边的直角三角形，
$\therefore AP^{2}=AG^{2}+PG^{2}$，
$\therefore 25 + 25a^{2}=4 + 16a^{2}+9 + 81a^{2}$，解得$a = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}$。
$\because a \gt 0$，$\therefore a=\frac{\sqrt{6}}{6}$。