《2025年实验班中考数学压轴题》

典例(温州龙港二模)新定义：我们把抛物线$ y = -ax^2 - bx + c(a \neq 0) $与抛物线$ y = ax^2 + bx + c $称为“孪生抛物线”。例如：抛物线$ y = -x^2 - 5x + 3 $的“孪生抛物线”为$ y = x^2 + 5x + 3 $。已知抛物线$ C_1: y = -ax^2 - 2ax + a + 4(a $为常数，且$ a \lt 0) $的“孪生抛物线”为$ C_2 $。抛物线$ C_2 $的顶点为$ A $，与$ x $轴交于$ B, C $两点，若$ \triangle ABC $为直角三角形，则抛物线$ C_1 $的解析式为{$y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}$}。
思路分步拆解
(第一步：先确定点$ A $的坐标)由“孪生抛物线”的定义得抛物线$ C_2 $为$ y = ax^2 + 2ax + a + 4 $，可得点$ A $的坐标为{$(-1,4)$}；
(第二步：表示出线段$ BC $的长度)设$ B(x_1, 0) $，$ C(x_2, 0) $，得出$ x_1 + x_2 = -2 $，$ x_1x_2 = \frac{a + 4}{a} $，从而求得 BC = {$\frac{4\sqrt{-a}}{|a|}$} ；
(第三步：列出方程求出$ a $的值)由$ \triangle ABC $为等腰直角三角形，可得$ \frac{1}{2}BC = 4 $，解得 a = {$-\frac{1}{4}$} ，再将$ a $的值代入抛物线$ C_1 $的解析式即可。

答案： 典例思路分步拆解:$(-1,4)$ $\frac{4\sqrt{-a}}{|a|}$ $-\frac{1}{4}$ $y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}$ [解析]
∵已知抛物线$C_{1}:y=-ax^{2}-2ax+a+4$的“孪生抛物线”为$C_{2}$，依据“孪生抛物线”的定义，得抛物线$C_{2}$为$y=ax^{2}+2ax+a+4=a(x+1)^{2}+4$，
∴$A(-1,4)$。设$B(x_{1},0)$，$C(x_{2},0)$，当$y=0$时，得$ax^{2}+2ax+a+4=0$，
∴$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=\frac{a+4}{a}$，
∴$BC=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{(-2)^{2}-\frac{4(a+4)}{a}}=\frac{4\sqrt{-a}}{|a|}$。由抛物线的对称性，得$AB=AC$，
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}BC=|y_{A}|=4$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{-a}}{|a|}=4$，解得$a=-\frac{1}{4}$或$a=0$(不合题意，舍去)，
∴抛物线$C_{1}:y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}$。

1. (内江东兴区模拟)新定义：$ [a, b, c] $为二次函数$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0, a, b, c $为实数$) $的“图象数”，如：$ y = x^2 - 2x + 3 $的“图象数”为$ [1, -2, 3] $，若“图象数”是$ [m, 2m + 4, $
$ 2m + 4] $的二次函数的图象与$ x $轴只有一个交点，则$ m $的值为(C)。

A.$ -2 $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -2 $或$ 2 $
D.$ 2 $

答案： 1. C [解析]二次函数的解析式为$y=mx^{2}+(2m+4)x+2m+4$，根据题意，得$\Delta=(2m+4)^{2}-4m(2m+4)=0$，解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=2$。故选C。