《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$ C_1:y=\frac{1}{12}x^2+bx+c $的图象经过$ A(0,1) $，$ B(6,-3) $两点。点$ P $是抛物线$ C_2:y=\frac{1}{8}x^2+mx-2 $在第四象限部分上的动点，且位于抛物线$ C_1 $的下方，过点$ P $作直线$ PQ \perp x $轴，交抛物线$ C_1 $于点$ Q $。
(1) 求抛物线$ C_1 $的函数解析式；
(2) 若抛物线$ C_2 $的对称轴是直线$ x=6 $，且$ PQ=1 $，求点$ P $的横坐标；
(3) 若点$ Q $恰为抛物线$ C_1 $的最低点时，$ PQ\geq\frac{25}{6} $，求$ m $的取值范围。

答案：
(1)在平面直角坐标系中，抛物线$C_1:y = \frac{1}{12}x^{2} + bx + c$的图象经过$A(0,1)$，$B(6,-3)$两点。
将点A，点B的坐标分别代入，得$\begin{cases}c = 1\frac{1}{12}×6^{2} + 6b + c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{7}{6}\\c = 1\end{cases}$，则抛物线$C_1$的函数解析式为$y = \frac{1}{12}x^{2} - \frac{7}{6}x + 1$。
(2)
∵抛物线$C_2$的对称轴是直线$x = 6$，
∴$-\frac{m}{2×\frac{1}{8}} = 6$，解得$m = -\frac{3}{2}$，
∴抛物线$C_2$的函数解析式为$y = \frac{1}{8}x^{2} - \frac{3}{2}x - 2$。
∵$PQ = 1$，
∴$\frac{1}{12}x^{2} - \frac{7}{6}x + 1 - (\frac{1}{8}x^{2} - \frac{3}{2}x - 2) = 1$，整理，得$x^{2} - 8x - 48 = 0$，解得$x_1 = -4$（不合题意，舍去），$x_2 = 12$，
∴点P的横坐标为12。
(3)
∵$y = \frac{1}{12}x^{2} - \frac{7}{6}x + 1 = \frac{1}{12}(x - 7)^{2} - \frac{37}{12}$，
∴点$Q(7,-\frac{37}{12})$，
∴点$P(7,\frac{1}{8}×7^{2} + 7m - 2)$。
又$PQ \geq \frac{25}{6}$，
∴$-\frac{37}{12} - (\frac{1}{8}×7^{2} + 7m - 2) \geq \frac{25}{6}$，
解得$m \leq -\frac{13}{8}$，
∴m的取值范围是$m \leq -\frac{13}{8}$。