《2025年实验班中考数学压轴题》

典例(东营一模)如图，在$Rt\triangle ABE$中，$\angle ABE = 90°$，$AB = BE$，将$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$45°$，得到$\triangle AHD$，过点$D$作$DC \perp BE$交$BE$的延长线于点$C$，连接$BH$并延长交$DC$于点$F$，连接$DE$交$BF$于点$O$。下列结论：
①$DE$平分$\angle HDC$；②$DO = OE$；③$H$是$BF$的中点；④$BC - CF = 2CE$；
⑤$CD = HF$。其中正确的有(B)。

A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
思路分步拆解
(第一步：由全等得到$\angle CDE = \angle HDE$)由图形的旋转、矩形的性质，可证$Rt\triangle DEC \cong Rt\triangle DEH$，得$HE = \boldsymbol{CE}$，$\angle$$AED = \angle DEC = \boldsymbol{45}°$，$\angle$$CDE = \angle HDE =$$\boldsymbol{22.5}°$，可判断①的结论是否正确；
(第二步：证明角相等)由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可分别判断②③的结论是否正确；
(第三步：求得线段关系)过点$H$作$HN \perp BC$于点$N$，易得$\triangle BHN \sim \triangle BFC$，由相似三角形的判定和性质可得$CF = 2HN =$$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}BE$，由线段的和差关系可判断④的结论是否正确；由$\angle HFD \neq \angle HDF$，可得$HF \neq DH$，可判断⑤的结论是否正确，即可求解。

答案：
B　[解析]
∵∠ABE = 90°，AB = BE，
∴∠AEB = ∠BAE = 45°，AE = √2BE。
∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠DAE = ∠EAB = 45°，AD = AE = √2BE，DH = BE，
AH = AB，∠AHD = ∠ABE = 90°，
∴∠DAB = ∠ABE = 90°，AH = DH = AB = BE。
∵DC⊥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD = DH，
AD = BC = √2BE，∠BCD = ∠DHE = 90°。
⇒等腰直角三角形的斜边等于直角边的√2倍
∵DH = DC，DE = DE，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)，
∴HE = EC，∠AED = ∠DEC = 67.5°，
∴∠CDE = ∠HDE = 22.5°，
∴DE平分∠HDC，故①正确；
∵AB = AH，∠BAE = 45°，
∴∠ABH = ∠AHB = 67.5°，
∴∠OHE = 67.5° = ∠OEH，
∴OH = OE，∠DHO = 22.5° = ∠HDO，
∴DO = HO，
∴OE = DO，故②正确；
如图，连接CH。
∵∠ABH = 67.5°，
∴∠CBH = 22.5°，
∴∠BFC = 67.5°。
∵HE = EC，∠AEB = 45°，
∴∠ECH = ∠EHC = 22.5°，
∴∠HBC = ∠HCE，∠FCH = 67.5°，
∴BH = CH，∠FCH = ∠BFC，
∴HC = HF，
∴BH = HF，
∴H是BF的中点，故③正确；

如图，过点H作HN⊥BC于点N，
∴HN//CD，
∴△BHN∽△BFC，
∴BH/BF = HN/FC = 1/2，
∴CF = 2HN。
∵AE = √2BE，AH = BE，
∴HE = (√2 - 1)BE = CE。
∵HN⊥BC，∠AEB = 45°，
∴HN = √2/2HE = √2/2(√2 - 1)BE，
⇒线段经历多次转化时要注意计算的正确性
∴CF = 2HN = (2 - √2)BE。
∵BC - CF = BE + CE - CF = BE + (√2 - 1)BE - (2 - √2)BE = 2(√2 - 1)BE，
∴BC - CF = 2CE，故④正确；
∵∠HFD = 180° - 67.5 = 112.5°，∠HDF = 45°，
∴∠HFD≠∠HDF，
∴HF≠DH，
∴HF≠CD，故⑤错误。综上，其中正确的有4个。故选B。

1. (泗阳一模)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，$D$，$E$为边$BC$上两点，$\angle DAE = 45°$，过点$A$作$AF \perp AE$，且$AF = AE$，连接$DF$，$BF$。下列结论：①$\triangle ABF \cong \triangle ACE$；②$DA$平分$\angle EDF$；③若$BD = 4$，$CE = 3$，则$AB = 6\sqrt{2}$；④若$AB = BE$，则$S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2}S_{\triangle ADE}$。其中正确的有(C)。

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 1. C [解析]
∵AF⊥AE，
∴∠FAE = 90°。
∵∠BAC = 90°，
∴∠FAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴∠FAB = ∠EAC。
∵AB = AC，AF = AE，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，故①正确；
∵∠DAE = 45°，∠FAE = 90°，
∴∠FAD = ∠FAE - ∠DAE = 45°，
∴∠FAD = ∠DAE。
∵AD = AD，AF = AE，
∴△FAD≌△EAD(SAS)，
∴∠FDA = ∠EDA，
∴DA平分∠EDF，故②正确；
在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = 45°，BC = √2AB。
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF = ∠C = 45°，BF = CE = 3，
∴∠FBD = ∠ABF + ∠ABD = 90°，
∴DF = √(BF² + BD²) = √(3² + 4²) = 5。
∵△FAD≌△EAD，
∴FD = ED = 5，
∴BC = BD + DE + CE = 4 + 5 + 3 = 12，
∴AB = 6√2，故③正确；
∵AB = BE，∠ABE = 45°，
∴∠BAE = ∠BEA = 67.5°。
∵∠DAE = 45°，
∴∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠AED = 67.5°，
∴∠ADB = ∠AEC。
∵AB = AC，∠ABE = ∠C = 45°，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD = CE。
∵BF = CE，
∴BD = BF。
∵∠FBD = 90°，
∴DF = √2BD，
∴DE = √2BD，
∴S△ADE = √2S△ABD，故④错误。
综上所述，正确的有3个。故选C。