《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，在矩形$ ABCD $中，$ AD = 80\ \mathrm{cm} $，$ AB = 40\ \mathrm{cm} $，半径为$ 8\ \mathrm{cm} $的$ \odot O $在矩形内且与$ AB $，$ AD $均相切。现有动点$ P $从点$ A $出发，在矩形边上沿着$ A \to B \to C \to D $的方向匀速移动，当点$ P $到达点$ D $时停止移动；$ \odot O $在矩形内部沿$ AD $向右匀速平移，移动到与$ CD $相切时立即沿原路按原速返回，当$ \odot O $回到出发时的位置（即再次与$ AB $相切）时停止移动。已知点$ P $与$ \odot O $同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）。当$ \odot O $到达$ \odot O_1 $的位置时（此时圆心$ O_1 $在矩形对角线$ BD $上），$ DP $与$ \odot O_1 $恰好相切，此时$ \odot O $移动了（B）。
A. $ 56\ \mathrm{cm} $
B. $ 72\ \mathrm{cm} $
C. $ 56\ \mathrm{cm} $或$ 72\ \mathrm{cm} $
D. 不存在
（第一步：找到点$ P $与$ \odot O $移动的速度关系）设点$ P $移动速度为$ v_1\ \mathrm{cm/s} $，$ \odot O $移动的速度为$ v_2\ \mathrm{cm/s} $，根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得$ v_1:v_2 $的值为$\frac{5}{4}$；
（第二步：作辅助线，找到相似关系，进而求得点$ P $移动的距离）设直线$ OO_1 $与$ AB $交于点$ E $，与$ CD $交于点$ F $，$ \odot O_1 $与$ AD $相切于点$ G $，连接$ O_1G $，若$ PD $与$ \odot O_1 $相切，切点为$ H $，则$ O_1G = O_1H $。连接$ O_1H $，易得$ \triangle DO_1G \cong \triangle $$DO_1H$$ $，根据全等三角形的性质，可得$ \angle ADB = \angle BDP $，根据平行线的性质与等腰三角形的判定，可得$ BP $与$ DP $的关系。根据勾股定理，可得$ DP $的长为$$_________$\ \mathrm{cm} $，根据有理数的加法，可得点$ P $移动的距离为$$_________$\ \mathrm{cm} $；
(第三步：分类讨论，避免遗漏)由$ EF // AD $，可得$ \triangle BEO_1 \sim \triangle $$BAD$$ $，根据相似三角形的性质，可得$ EO_1 $的长为$$64$\ \mathrm{cm} $。分类讨论：当$ \odot O $首次到达$ \odot O_1 $的位置时，$ v_1:v_2 = $$\frac{45}{28}$$ $，当$ \odot O $在返回途中到达$ \odot O_1 $位置时，$ v_1:v_2 = $$\frac{5}{4}$$ $，据此可得答案。

答案：
B[解析]设点P移动速度为$v_1$cm/s，⊙O移动的速度为$v_2$cm/s，由题意，得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{80 + 2×40}{2(80 - 16)}=\frac{5}{4}$。如图，设直线$OO_1$与AB交于点E，与CD交于点F，⊙$O_1$与AD相切于点G，连接$O_1G$，若PD与⊙$O_1$相切，切点为H，则$O_1G = O_1H$。连接$O_1H$，易得△$DO_1G$≌△$DO_1H$，
∴$\angle ADB = \angle BDP$。
　　　　　　
∵$BC// AD$，
∴$\angle ADB = \angle CBD$，
∴$\angle BDP = \angle CBD$，
∴$BP = DP$。设$BP = x$cm，则$DP = x$cm，$PC = (80 - x)$cm。
在$Rt\triangle PCD$中，由勾股定理，得$PC^2 + CD^2 = PD^2$，即$(80 - x)^2 + 40^2 = x^2$，解得$x = 50$，此时点P移动的距离为$40 + 50 = 90$cm。
∵$EF// AD$，
∴△$BEO_1$∽△$BAD$，
∴$\frac{EO_1}{AD}=\frac{BE}{BA}$，即$\frac{EO_1}{80}=\frac{32}{40}$，
∴$EO_1 = 64$cm，$OO_1 = 56$cm。
①当⊙O首次到达⊙$O_1$的位置时，⊙O移动的距离为56cm，此时点P与⊙O移动的速度比为$\frac{v_1}{v_2}=\frac{90}{56}=\frac{45}{28}$，
∵$\frac{45}{28}\neq\frac{5}{4}$，
∴此时PD与⊙$O_1$不能相切；
②当⊙O在返回途中到达⊙$O_1$位置时，⊙O移动的距离为$2(80 - 16) - 56 = 72$cm，
∴此时点P与⊙O移动的速度比为$\frac{v_1}{v_2}=\frac{90}{72}=\frac{5}{4}$，此时PD与⊙$O_1$恰好相切。此时⊙O移动了72cm。故选B。