《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (临沂中考)在实数$ a, b, c $中，若$ a + b = 0 $，$ b - c ＞ c - a ＞ 0 $，则下列结论：①$ |a| ＞ |b| $；
②$ a ＞ 0 $；③$ b ＜ 0 $；④$ c ＜ 0 $，其中正确的个数有(A).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1. A　[解析]
∵a+b=0,b−c＞c−a＞0,
∴2c＜a+b=0,
∴c＜0.
∵c−a＞0,
∴c＞a,
∴a＜0.
∵a+b=0,
∴b=−a＞0,
∴a,b互为相反数，
∴|a|=|b|.综上所述，正确的结论有④，即正确的有1个.故选A.

2. 归纳法(日照中考)在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字. 现有一列数：$ 2, 4 $，进行第1次构造，得到新的一列数：$ 2, 6, 4 $，第2次构造后，得到一列数：$ 2, 8, 6, 10, 4 $，第$ n $次构造后得到一列数：$ 2, x_1, x_2, x_3, \dots, x_k, 4 $，记$ a_n = 2 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k + 4 $. 某小组经过讨论得出如下结论，错误的是(D).

A.$ a_3 = 84 $
B.$ \frac{a_n}{3} $为偶数
C.$ a_{n + 1} = 3a_n - 6 $
D.$ k = 2n - 1 $

答案： 2. D　[解析]第1次构造,得a₁=2+6+4=12,k=1=2¹−1,第2次构造,得a₂=2+8+6+10+4=30=a₁+18=a₁+6×3¹,k=3=2²−1,第3次构造,得a₃=2+10+8+14+6+16+10+14+4=84=a₂+54=a₂+6×3²,k=7=2³−1,故A选项正确;第n次构造为aₙ=aₙ₋₁+6×3ⁿ⁻¹,则aₙ−aₙ₋₁=6×3ⁿ⁻¹,aₙ₋₁−aₙ₋₂=6×3ⁿ⁻²,aₙ₋₂−aₙ₋₃=6×3ⁿ⁻³,...,a₂−a₁=6×3¹,相加得aₙ−a₁=6×(3ⁿ⁻¹+3ⁿ⁻²+...+3¹),令S=3ⁿ⁻¹+3ⁿ⁻²+...+3¹=3¹+3²+...+3ⁿ⁻²+3ⁿ⁻¹①,则3S=3²+3³+...+3ⁿ②,由①−②,得−2S=3−3ⁿ,
∴S=$\frac{3ⁿ−3}{2}$,即aₙ−a₁=6×(3ⁿ⁻¹+3ⁿ⁻²+…+3¹)=3ⁿ⁺¹−9,
∴aₙ=3ⁿ⁺¹+3,则aₙ₊₁=3ⁿ⁺²+3,即aₙ₊₁=3aₙ−6,故C选项正确;$\frac{aₙ}{3}$=3ⁿ+1为偶数，故B选项正确;第n次构造为aₙ=aₙ₋₁+6×3ⁿ⁻¹,k=2ⁿ−1,故D选项错误.故选D.

3. 中考新考法 过程纠错 (长沙中考)衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要. 青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规. 同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则. 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题：如果$ a, b, c $为实数，且满足$ a + b = -c $. 那么$ 2 = 1 $.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有$ a + b = -c $；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有$ a = 2a - a $，$ b = 2b - b $，$ c = 2c - c $；②
第三步：把②代入①，可得$ (2a - a) + (2b - b) = - (2c - c) $；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得$ 2(a + b + c) = (a + b + c) $；④
第五步：把④两边同时除以$ (a + b + c) $，得$ 2 = 1 $. ⑤
请你判断上述推理过程中，第五步是错误的，它违背了数学的基本法则.

答案： 3. 五　[解析]等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立.
∵对于等式2(a+b+c)=(a+b+c),当a+b+c=0时，该等式恒成立，当a+b+c≠0,两边同时除以(a+b+c),得2=1.
∵a+b=−c,
∴a+b+c=0,
∴上述推理过程中，第五步是错误的.

4. 中考新考法 新定义问题 (济南章丘区一模)对于代数式$ A, B $，定义一种新运算：$ A \otimes B = 2A^2 - AB + B $.
①若$ (x + 1) \otimes 5 = 5 $，则$ x = -1 $或$ \frac{3}{2} $；
②若$ x_1, x_2 $是一元二次方程$ (x - 1) \otimes (x + 2) = 4 $的两个根，则$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $；
③若二次函数$ y = x \otimes (x - 2) $在$ -3 \leq x \leq a $内有最小值$ -\frac{17}{4} $，则$ a = -\frac{3}{2} $；
④若$ y = |3 \otimes (x^2 + 1)| $的函数图象与直线$ y = x + 2b $有两个交点，则$ -\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{2} $.
以上结论正确的个数是(B).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
4. B　[解析]①
∵(x+1)⊗5=5,
∴2(x+1)²−5(x+1)+5=5,即2(x+1)²−5(x+1)=0,(x+1)(2x+2−5)=0,解得x₁=−1,x₂=$\frac{3}{2}$,故①是正确的;②由定义的新运算，可得(x−1)⊗(x+2)=2(x−1)²−(x−1)(x+2)+(x+2)=4,即x²−x + 2 = 0.
∵x₁,x₂是一元二次方程(x−1)⊗(x+2)=4的两个根,
∴x₁+x₂=4,x₁x₂=2,
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=4²−2×2=12,故②是正确的;③由定义的新运算可得二次函数y=x⊗(x−2)=2x²−x(x−2)+x−2=x²+3x−2.
∵y=x²+3x−2=(x+$\frac{3}{2}$)²−$\frac{17}{4}$,
∴函数的顶点为(−$\frac{3}{2}$,−$\frac{17}{4}$).
∵二次函数y=x⊗(x−2)在−3≤x≤a内有最小值−$\frac{17}{4}$,
∴a≥−$\frac{3}{2}$,故③错误;④由定义的新运算,可得函数y=|3⊗(x²+1)|=|2×3²−3(x²+1)+(x²+1)|=|16−2x²|,令y=0,则16−2x²=0,解得x=±2$\sqrt{2}$,
∴函数y=|3⊗(x²+1)|的图象与x轴的交点为(−2$\sqrt{2}$,0),(2$\sqrt{2}$,0),把(−2$\sqrt{2}$,0)代入y=x+2b,解得b=$\sqrt{2}$,把(2$\sqrt{2}$,0)代入y=x+2b,解得b=−$\sqrt{2}$.如图，

当−$\sqrt{2}$＜b＜$\sqrt{2}$时,y=|3⊗(x²+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，令16−2x²=x+2b,整理得2x²+x−16+2b=0.若△=0时,y=|3⊗(x²+1)|的函数图象与直线y=x+2b有三个交点，即1²−4×2×(−16+2b)=0,解得b=$\frac{129}{16}$,
∴当b＞$\frac{129}{16}$时,y=|3⊗(x²+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，故若y=|3⊗(x²+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则−$\sqrt{2}$＜b＜$\sqrt{2}$或b＞$\frac{129}{16}$,故④错误.故选B.

5. (湖南中考)已知$ a, b, c $是$ \triangle ABC $的三条边长，记$ t = \left( \frac{a}{c} \right)^k + \left( \frac{b}{c} \right)^k $，其中$ k $为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则$ t = $2$ $；
(2)下列结论正确的是①②. (写出所有正确的结论)
①若$ k = 2 $，$ t = 1 $，则$ \triangle ABC $为直角三角形；
②若$ k = 1 $，$ a = \frac{1}{2}b + 2 $，$ c = 1 $，则$ 5 ＜ t ＜ 11 $；
③若$ k = 1 $，$ t \leq \frac{5}{3} $，$ a, b, c $为三个连续整数，且$ a ＜ b ＜ c $，则满足条件的$ \triangle ABC $的个数为7.

答案： 5.
(1)2　[解析]由题可知,t=1ᵏ+1ᵏ=1+1=2.
(2)①② [解析]①当k=t=1时,1 = ($\frac{a}{c}$)²+($\frac{b}{c}$)²=$\frac{a²+b²}{c²}$,即a²+b²=c²,
∴三角形为直角三角形，故①正确，符合题意;②当k=1,a=$\frac{1}{2}$b+2,c=1时,t=$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=a+b=$\frac{1}{2}$b+2+b=$\frac{3}{2}$b+2.当a＞b时,a−b＜c,即$\frac{1}{2}$b+2−b＜1,解得b＞2;当a＜b时,b−a＜c,即b−$\frac{1}{2}$b−2＜1,解得b＜6.综上,2＜b＜6.当b=2时,t=$\frac{3}{2}$×2+2=5,当b=6时,t=$\frac{3}{2}$×6+2=11,
∴5＜t＜11,故②正确，符合题意;③t=$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{a+b}{c}$≤$\frac{5}{3}$,
∴a+b≤$\frac{5}{3}$c.又a+b＞c,
∴c＜a+b≤$\frac{5}{3}$c.不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2,
∴n+2＜2n+1≤$\frac{5}{3}$(n+2),解得1＜n≤7,
∴n可取2,3,4,5,6,7,对应的t值分别为$\frac{5}{4}$,$\frac{7}{5}$,$\frac{3}{2}$,$\frac{11}{7}$,$\frac{13}{8}$,$\frac{5}{3}$,共6个，故③错误，不符合题意.