《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (厦门模拟)如图，抛物线$ y = ax^2 - \frac{10}{3}x + 4 $与直线$ y = \frac{4}{3}x + b $经过点$ A(2,0) $，且相交于另一点$ B $；抛物线与$ y $轴交于点$ C $，与$ x $轴交于另一点$ E $；点$ N $在线段$ AB $上，过点$ N $的直线交抛物线于点$ M $，且$ MN // y $轴，连接$ AM $，$ BM $，$ BC $，$ AC $；当点$ N $在线段$ AB $上移动时(不与点$ A $，$ B $重合)，下列结论中正确的是(C)。

A.$ MN + BN ＜ AB $
B.$ \angle BAC = \angle BAE $
C.$ \angle ACB - \angle ANM = \frac{1}{2}\angle ABC $
D.四边形$ ACBM $的最大面积为$ 13 $
思路分步拆解
(第一步：找特殊三角形)根据条件可以确定坐标为$ A(2,0) $，$ B(5,4) $，$ C(0,4) $，求得$ AB $，$ BC $的长，可得$ \triangle ABC $是等腰三角形；
(第二步：由特殊点找到反例)当$ MN $过对称轴所在的直线时，求得$ BN $，$ MN $的长，从而确定$ BN + MN $=$ AB $；
(第三步：由平行找等量关系)由$ BC // x $轴推知$ \angle BAE $=$ \angle CBA $，而$ \triangle ABC $是等腰三角形，因此$ \angle CBA \neq \angle BCA $，即$ \angle BAC $≠$ \angle BAE $；

(第四步：找到角平分线，转化角度)过点$ A $作$ AD \perp BC $，过点$ B $作$ BF \perp AC $，由$ \triangle ABC $是等腰三角形得到$ BF $是$ \angle ABC $的，$ \angle ACB - \angle ANM = \angle CAD = $$ \angle ABC $；
(第五步：割补法求面积)将$ S_{四边形ACBM} $转化为$ S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABM} $，可以直接求得$ S_{\triangle ABC} $，$ S_{\triangle ABM} $看成$ S_{\triangle AMN} + S_{\triangle BMN} $，转化为以点$ M $或$ N $横坐标为自变量的二次函数，进而求得其最大值。
方法技巧
对于$ BN + MN $与$ AB $的比较，可利用几何变换将线段进行转化，结合两点之间线段最短定理判断。

答案： 典例思路分步拆解:等腰　=　=　≠　平分线　$\frac{1}{2}$C[解析]将点A(2,0)代入抛物线 $y=ax^2-\frac{10}{3}x + 4$与直线 $y=\frac{4}{3}x + b$，解得 $a=\frac{2}{3},b=-\frac{8}{3}$.易得点B，C的坐标为(5,4)，(0,4)，则 $AB = BC = 5$，则$\angle CAB=\angle ACB$，$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形.设点M横坐标为m，则$M(m,\frac{2}{3}m^2-\frac{10}{3}m + 4)$，$N(m,\frac{4}{3}m-\frac{8}{3})$.A.当 $MN$ 过对称轴所在的直线时，此时点 $M$，$N$ 的坐标分别为$(\frac{5}{2},-\frac{1}{6})$，$(\frac{5}{2},\frac{2}{3})$，由勾股定理，得 $BN=\frac{25}{6}$，而 $MN=\frac{5}{6}$，$BN + MN = 5 = AB$，故本选项错误；B. $\because BC// x$ 轴，（B、C两点纵坐标相同）$\therefore \angle BAE=\angle CBA$，而$\triangle ABC$是等腰三角形不是等边三角形，$\angle CBA\neq\angle BCA$，$\therefore \angle BAC=\angle BAE$不成立，故本选项错误；C.如图，过点A作 $AD\perp BC$，过点B作 $BF\perp AC$.$\because\triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore BF$是$\angle ABC$的平分线，易证$\angle CAD = \angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC$，而$\angle ACB-\angle ANM=\angle CAB - \angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle ABC$，故本选项正确；D. $S_{四边形ACBM}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABM}$，$S_{\triangle ABC}=10$，$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}MN·(x_B - x_A)= - m^2 + 7m - 10$，其最大值为$\frac{9}{4}$，故 $S_{四边形ACBM}$ 的最大值为 $10 + \frac{9}{4}=12.25$，故本选项错误.故选C.