《2025年实验班中考数学压轴题》

2. (海南一模)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$为$BC$的中点,分别以点$A$,$B$为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于$E$,$F$,$M$为直线$EF$上任意一点. 若$BC = 4$,$\triangle ABC$面积为$10$,则$BM + MD$长度的最小值为(D).

A.$\frac{5}{2}$
B.3
C.4
D.5

答案：
2.D　[解析]如图，连接AD,交直线EF于点N,设EF交AB于点G，

∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD⊥BC.由题意，得直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG,EF⊥AB,
∴点B关于直线EF对称的点为点A,
∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长.
∵BC=4,△ABC面积为10,
∴$\frac{1}{2}$×4×AD=10,解得AD=5.故选D.

3. (广安中考)如图,在$\triangle ABC$中,按以下步骤作图:
(1)以点$A$为圆心,$AC$的长为半径画弧,交$BC$于点$D$;(2)分别以点$C$和点$D$为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点$F$;(3)画射线$AF$交$BC$于点$E$.
若$\angle C = 2\angle B$,$BC = 23$,$BD = 13$,则$AE$的长为12 .

答案：
3.12　[解析]如图，连接AD，

由作图过程可知，AD=AC,AE⊥BC,
∴∠ADC=∠C=2∠B,∠AED=90°,DE=CE.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠B,
∴AD=BD=13.
∵BC=23,BD=13,
∴CD=BC−BD=10,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=5,
∴AE=$\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}$=$\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12.

4. (潍坊中考改编)如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$AO// BC$,连接$CO$并延长交$\odot O$于点$D$. 分别以点$A$,$C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,并使两弧交于圆外一点$M$. 直线$OM$交$BC$于点$E$,连接$AE$,下列结论错误的是(C).

A.$\overgroup{AB} = \overgroup{AD}$
B.$AB = OE$
C.$\angle AOD = \angle BAC$
D.四边形$AOCE$为菱形

答案：
4.C　[解析]如图.

设AC,OE交于点F，连接AD.
由题意，得OE是AC的垂直平分线.
∵AO=CO,
∴∠OAF=∠OCF.
∵AO//BC,
∴∠OAF=∠ACE,
∴∠ACE=∠OCA,
∴AB=AD,故选项A正确,不符合题意;
∵∠OCF=∠ECF,∠OFC=∠EFC=90°,CF=CF,
∴△EFC≌△OFC,
∴OC=CE=OA.
又AO//EC,
∴四边形AOCE为菱形,
故选项D正确,不符合题意;
∵AB=AD,
∴AB=AD.
∵四边形AOCE为菱形,
∴AE=OC=OD,AE//CD,
∴四边形AEOD为平行四边形,
∴AD=OE,
∴AB=OE,故选项B正确，不符合题意;∠AOD与∠BAC不一定相等，故选项C错误，符合题意.故选C.

5. (邢台南宫模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCD$的边$BC$在$x$轴上,$O$为线段$BC$的中点,矩形$ABCD$的顶点$D(2,3)$,连接$AC$,按照下列方法作图:
(1)以点$C$为圆心,适当的长度为半径画弧分别交$CA$,$CD$于点$E$,$F$;
(2)分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧交于点$G$;
(3)作射线$CG$交$AD$于点$H$,则线段$DH$的长为$\frac{3}{2}$ .

答案：
5.$\frac{3}{2}$　[解析]如图，过点H作HM⊥AC于点M,

由作法可知，CH为∠ACD的平分线.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°,AD=BC,AB=CD,
∴HD=HM.
∵D(2,3),O为线段BC的中点，
∴AD=BC=4,AB=CD=3,
∴AC=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5.
在Rt△CDH和Rt△CMH中,$\begin{cases}DH=MH,\\CH=CH,\end{cases}$
∴Rt△CDH≌Rt△CMH(HL),
∴CM=CD=3,
∴AM=AC−CM=2.设DH=MH=x,则AH=4−x,在Rt△AMH中,由勾股定理,得(4−x)^{2}=x^{2}+2^{2},解得x=$\frac{3}{2}$,即线段DH的长为$\frac{3}{2}$.

6. (扬州二模)已知锐角$\angle AOB$. 如图,
(1)在射线$OA$上取一点$C$,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作$\overgroup{PQ}$,交射线$OB$于点$D$,连接$CD$;
(2)分别以点$C$,$D$为圆心,$CD$长为半径作弧,交$\overgroup{PQ}$于点$M$,$N$;
(3)连接$OM$,$MN$.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中:①$\angle COM = \angle COD$;②若$OM = MN$,则$\angle AOB = 30°$;③$MN// CD$;④$MN = 3CD$,所有正确结论的序号是①③ .
答案见P40

答案：
6.①③[解析]如图，连接ON,DM.

∵CM=CD,
∴∠COM=∠COD,故①正确;
若OM=MN.
∵OM=ON,
∴OM=ON=MN,
∴∠MON=60°.
∵CM=CD=DN,
∴∠AOB=$\frac{1}{3}$∠MON=20°,故②错误;
∵CM=DN,
∴∠CDM=∠DMN,
∴CD//MN,故③正确;
∵CM=CD=DN,
∴CM=DC=DN.
∵CM+CD+DN＞MN,
∴MN＜3CD,故④错误.
综上所述，所有正确结论的序号为①③.