《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 [问题背景]如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线$y = -x^2 + bx + c$交$x$轴于$A(1,0)$，$B$两点，交$y$轴于点$C$，抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$，抛物线与双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$交于$P(2,3)$，把点$P$绕点$D$顺时针旋转$90°$得到对应点$Q$。
[构建联系](1)分别求出抛物线和双曲线的函数解析式，并说明点$Q$是否在双曲线上；
(2)如图(2)，双曲线与抛物线的对称轴交于点$E$，连接$PE$，$BQ$。求证：$\angle DPE = \angle DQB$；
[深入探究](3)如图(3)，连接$CD$，$CP$，将$\triangle OCD$绕着点$O$旋转得到$\triangle OC'D'$，其中点$C'$，$D'$分别是$C$，$D$两点的对应点，在旋转的过程中，当$\triangle OC'D'$与$\triangle PCD$重叠部分恰好是一个点时，求出此时点$D'$的坐标。

思路分步拆解
(1)(第一步：用待定系数法求出函数解析式)把$P(2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$中可得双曲线的函数解析式，把$P(2,3)$，$A(1,0)$代入$y = -x^2 + bx + c$中可得抛物线的函数解析式；
(第二步：求点$Q$的坐标)过点$P$，$Q$作$PF \perp x$轴，$QG \perp x$轴，分别交$x$轴于点$F$，$G$。由旋转知，$PD = $DQ，$\angle PDQ = $90$°$，则$\angle PDF + \angle DPF = 90°$，$\angle PDF + \angle QDG = 90°$，则$\angle DPF = \angle QDG$，所以$\triangle PDF \cong \triangle DQG$，可求得点$Q($6$, $1$)$，故点$Q$在双曲线上；
用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质。
易错警示
解题(3)时需仔细审题，分类讨论要考虑全面，做到不重不漏。
(2)证明$\triangle PDE \cong \triangle $QDB即可得结论；
(3)分$\triangle OC'D'$与$\triangle PCD$重叠部分是点$P$，$\triangle OC'D'$与$\triangle PCD$重叠部分是点$D'$两种情况讨论即可。

答案：
典例思路分步拆解:
(1)DQ　90　6　1　
(2)QDB
解:
(1)把P(2,3)代入y=$\frac{k}{x}$中,
∴k = 6,
∴双曲线的函数解析式为y=$\frac{6}{x}$.
把P(2,3),A(1,0)代入y = -x² + bx + c中,可得方程组$\begin{cases}-4 + 2b + c = 3,\\-1 + b + c = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 6,\\c = -5.\end{cases}$
∴抛物线的函数解析式为y = -x² + 6x - 5,
∴抛物线的对称轴为直线x = 3,
∴D(3,0).
点Q在双曲线上，理由如下:
如图
(1),分别过点P,Q作PF⊥x轴，QG⊥x轴，分别交x轴于F,G两点，
∴∠PFD = ∠QGD = 90°.
∵把点P绕点D顺时针旋转90°得到对应点Q，
∴PD = DQ,∠PDQ = 90°,

∴∠PDF + ∠DPF = 90°,∠PDF + ∠QDG = 90°,
∴∠DPF = ∠QDG.
∵∠PFD = ∠QGD = 90°,PD = DQ,
∴△PDF≌△DQG(AAS),
∴DG = PF = 3,QG = DF = 1,
∴Q(6,1),
∴点Q在双曲线上.
(2)
∵双曲线与抛物线对称轴交于点E，
∴E(3,2),
∴DE = 2.
∵A(1,0),抛物线对称轴为直线x = 3,点A,B关于对称轴对称，
∴BD = AD = 2,
∴DE = BD.
∵∠EDB = ∠PDQ = 90°,
∴∠PDE = ∠QDB.
又PD = DQ,
∴△PDE≌△QDB(SAS),
∴∠DPE = ∠DQB.
(3)①当△OC'D'与△PCD重叠部分是点P时,如图
(2),分别作D'M⊥x轴,PN⊥x轴，分别交x轴于M,N两点.
∵∠POD' = ∠PNO = ∠D'MO = 90°,
∴△D'OM∽△OPN,
∴D'M:MO = ON:PN = 2:3.
∵OD' = OD = 3,
∴OM = $\frac{9\sqrt{13}}{13}$,D'M = $\frac{6\sqrt{13}}{13}$,
设未知数，利用勾股定理即可求
∴点D'的坐标为(-$\frac{9\sqrt{13}}{13}$,$\frac{6\sqrt{13}}{13}$);
②当△OC'D'与△PCD重叠部分是点D'时,如图
(3),
点D'在线段PC上.
∵抛物线函数解析式为y = -x² + 6x - 5,
∴C(0,-5).
∵P(2,3),
∴直线PC的解析式为y = 4x - 5,
∴设D'的坐标为(m,4m - 5).
∵OD' = OD = 3,
∴m² + (4m - 5)² = 9,解得$m_1 = \frac{20 - 8\sqrt{2}}{17}$，$m_2 = \frac{20 + 8\sqrt{2}}{17}$（舍去）,点D'的坐标为($\frac{20 - 8\sqrt{2}}{17}$,$\frac{-5 - 32\sqrt{2}}{17}$).
综上所述,点D'的坐标为(-$\frac{9\sqrt{13}}{13}$,$\frac{6\sqrt{13}}{13}$)或($\frac{20 - 8\sqrt{2}}{17}$,$\frac{-5 - 32\sqrt{2}}{17}$).