《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 实验班原创 如图，抛物线$ y = x^2 - 2x $与直线$ y = 3 $相交于点$ A $，$ B $，$ P $是$ x $轴上一点，若$ PA + PB $最小，则点$ P $的坐标为(C)。

A.$ (-1,0) $
B.$ (0,0) $
C.$ (1,0) $
D.$ (3,0) $

答案：
1. C [解析]如图，作点B关于 $x$ 轴的对称点 $B'$，连接 $AB'$，与 $x$ 轴的交点即为点P.当 $y = 3$时，代入抛物线解析式得 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x = 3$或$x = -1$，则由图可知，点A$(-1,3)$，点B$(3,3)$，$\therefore B'(3,-3)$.设直线 $AB'$的解析式为 $y = kx + b$，代入A，$B'$求得$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$，当 $y = 0$时，$x = 1$，$\therefore$点P$(1,0)$.故选C.

2. (河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线$ y = x^2 + bx + c $与$ x $轴交于$ A $，$ B $两点，点$ A $在$ x $轴的负半轴，点$ B $在$ x $轴的正半轴，与$ y $轴交于点$ C $，且$ CO = 2AO $，$ CO = BO $，$ AB = 3 $。则下列判断中正确的是(C)。

A.此抛物线的解析式为$ y = x^2 + x - 2 $
B.当$ x ＞ 0 $时，$ y $随着$ x $的增大而增大
C.此抛物线与直线$ y = -\frac{9}{4} $只有一个交点
D.在此抛物线上的某点$ M $，使$ \triangle MAB $的面积等于$ 4 $，这样的点共有三个

答案： 2. C [解析]$\because CO = 2AO$，而 $CO = BO$，$AB = 3$，$\therefore AO = 1$，$BO = OC = 2$，即A$(-1,0)$，B$(2,0)$，C$(0,-2)$，$\therefore$二次函数的解析式为 $y = x^2 - x - 2$，故A错误；$\because$二次函数图象的对称轴为 $x = \frac{1}{2}$，$\therefore$当 $x＞0$时，$y$随着 $x$的增大而先减小再增大，故B错误；$\because$此二次函数的最小值为 $-\frac{9}{4}$，$\therefore$此抛物线与直线 $y = -\frac{9}{4}$只有一个交点，故C正确；$\because$要使$\triangle MAB$的面积等于4，须使点 $M$到 $x$ 轴的距离为 $\frac{8}{3}$，这样的点共有2个，故D错误.故选C.

3. (菏泽一模)如图，已知$ \odot P $的半径为$ 1 $，圆心$ P $在抛物线$ y = \frac{1}{4}x^2 $上运动，当$ \odot P $与$ x $轴相切时，圆心$ P $的坐标为$(-2,1)$或$(2,1)$。

答案：
3. $(-2,1)$或$(2,1)$ [解析]$\odot P$的半径为1，圆心 $P$ 在抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2$上运动，$\therefore \odot P$与 $x$ 轴相切时，$PA = 1$，即纵坐标为1，$\therefore$代入二次函数解析式 $y = \frac{1}{4}x^2$中，解得$x = \pm 2$，$\therefore$圆心 $P$的坐标为$(-2,1)$或$(2,1)$.

4. 新情境 探究“果圆” (莱西一模)如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”。已知点$ A $，$ B $，$ C $，$ D $分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为$ y = x^2 - 2x - 3 $，$ AB $为半圆的直径，则这个“果圆”被$ y $轴截得的弦$ CD $的长为$3 + \sqrt{3}$。

答案：
4. $3 + \sqrt{3}$ [解析]如图，连接AC，BC，$\because$抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$，$\therefore$点D的坐标为$(0,-3)$，$\therefore OD$的长为3.令 $y = 0$，则 $0 = x^2 - 2x - 3$，解得$x = -1$或3，$\therefore$A$(-1,0)$，B$(3,0)$，$\therefore AO = 1$，$BO = 3$. $\because AB$为半圆的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$. $\because CO\perp AB$，$\therefore CO^2 = AO· BO = 3$，$\therefore CO = \sqrt{3}$，（利用射影定理可得）$CD = CO + OD = 3 + \sqrt{3}$.

5. (唐山迁西模拟)已知抛物线$ y = -\frac{3}{16}(x - 1) · (x - 9) $与$ x $轴交于$ A $，$ B $两点，对称轴与抛物线交于点$ C $，与$ x $轴交于点$ D $，$ \odot C $的半径为$ 2 $，$ G $为$ \odot C $上一动点，$ P $为$ AG $的中点，则$ DP $的最大值为(A)。

A.$ \frac{7}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{41}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{34}}{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $

答案： 5. A [解析]连接BG，$\because P$为 $AG$中点，D为 $AB$中点，$\therefore DP$是三角形 $ABG$的中位线，$\therefore DP = \frac{1}{2}BG$，当 $BG$最大时，则 $DP$最大.由圆的性质可知，当 $G$，$C$，$B$三点共线时，$BG$最大.由题意，得C$(5,3)$，B$(9,0)$，$\therefore BC = \sqrt{3^2 + 4^2}=5$，$\therefore BG$的最大值为 $2 + 5 = 7$，$\therefore DP$的最大值为 $\frac{7}{2}$.故选A.

6. (安徽模拟)抛物线$ y = ax^2 + bx + c $交$ x $轴于$ A(-1,0) $，$ B(3,0) $，交$ y $轴的负半轴于点$ C $，顶点为$ D $。
(1)当$ \triangle ABD $是等腰直角三角形时，点$ D $的坐标为$(1,-2)$；
(2)当$ \triangle ABC $是直角三角形时，$ a $的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案：
6.
(1)$(1,-2)$
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$ [解析]
(1)$\because$A$(-1,0)$，B$(3,0)$，$\therefore OA = 1$，$OB = 3$，$\therefore AB = 4$.设抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点为E.
$\because \triangle ABD$ 是等腰直角三角形，$\therefore DE = AE = BE = 2$，$\therefore$点D的坐标为$(1,-2)$.

(2)$\because CO\perp AB$，$AC\perp BC$，$\therefore \angle ACB = \angle COB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACO + \angle OAC = \angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACO = \angle ABC$，$\therefore \triangle OAC\sim\triangle OCB$，$\therefore OC^2 = OA· OB = 3$.
$\because$点C在 $y$ 轴的负半轴上，$\therefore c = -\sqrt{3}$，将点A$(-1,0)$，B$(3,0)$代入 $y = ax^2 + bx - \sqrt{3}$中，$\begin{cases}a - b - \sqrt{3} = 0\\9a + 3b - \sqrt{3} = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{\sqrt{3}}{3}\\b = - \frac{2\sqrt{3}}{3}\end{cases}$.