《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 实验班原创 如图，$AB$ 是$\odot O$的直径，点 $C$，$D$ 都在$\odot O$上，弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $Q$。若$\angle ABD = 45°$，$\angle AQD = 75°$，$BC = 2$，则$\odot O$的半径为(B)。

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$3$

答案：
1.B　[解析]如图，连接OD，OC.
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∴OD⊥AB，
∴∠DOQ=90°，
∴∠DCB=$\frac{1}{2} \angle$DOQ=45°.
∵∠AQD=75°，
∴∠ODQ=90° - 75°=15°.
∵OC=OD，
∴∠OCD=15°，
∴∠OCB=∠OCD+∠DCB=15°+45°=60°.
∵OC=OB，BC=2，∠OCB=∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=2.故选B.

2. 如图，已知线段 $AB$ 上有一动点 $C$，分别以 $AC$，$BC$ 为边在同方向作等边三角形 $ACM$ 和等边三角形 $CBN$，连接 $AN$，交 $MC$ 于点 $E$，连接 $MB$，交 $CN$ 于点 $F$，连接 $EF$，有以下结论：
①$AN = BM$；②$\angle ENC = \angle FBC$；③$EN = BF$；④$MC = MF$；⑤$EF // AB$。
其中正确的是(B)。

A.①②⑤
B.①②③⑤
C.②③④⑤
D.①②③④⑤

答案： 2.B　[解析]
∵△ACM和△CBN均为等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ECF=60°，∠ACN=∠MCB.
在△ACN和△MCB中，$\begin{cases}AC = MC \\ \angle ACN = \angle MCB \\ CN = CB \end{cases}$，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN=BM，∠ANC=∠MBC，故①②正确.
在△ECN和△FCB中，$\begin{cases} \angle ECN = \angle FCB \\ CN = CB \\ \angle ENC = \angle FBC \end{cases}$，
∴△ECN≌△FCB(ASA)，
∴EN=BF，CE=CF，故③正确.
∵∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠ACE=∠CEF，
∴EF//AB，故⑤正确.
∵△ECF是等边三角形，
∴∠MCF=∠EFC=60°，
∴∠MCF≠∠MFC，
∴MC≠MF，故④错误.
即正确的有①②③⑤.故选B.

3. 实验班原创 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$AC = BC$，$AD$ 平分$\angle BAC$，$CE \perp AD$ 交 $AB$ 于点 $E$，$BE = CF$，$BF$ 交 $CE$ 于点 $P$，连接 $PD$，下列说法：
① $AC = AE$；② $CD = BE$；③ $BP = PF$；④$\angle BDP = 67.5°$。
其中正确结论是(D)。

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

答案：
3.D　[解析]①
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AC=AE，故①正确.
②如图，过点B作BH⊥BC交CE的延长线于点H，
∴∠ACD=∠CBH=90°.
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCH.
在△ACD与△CBH中，$\begin{cases} \angle CAD = \angle BCH \\ AC = CB \\ \angle ACD = \angle CBH \end{cases}$，
∴△ACD≌△CBH(ASA)，
∴CD=BH.
∵∠ACE+∠DCE=∠H+∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠H.
∵∠ACE=∠AEC，∠BEH=∠AEC，
∴∠BEH=∠H，
∴BE=BH，
∴CD=BE，故②正确.
∴CF=BE=CD.
在△ACD与△BCF中，$\begin{cases} CD = CF \\ \angle ACD = \angle BCF \\ AC = BC \end{cases}$，
∴△ACD≌△BCF(SAS)，
∴∠CAD=∠FBC，
∴∠BCE=∠FBC，
∴PB=PC，同理PF=PC，
∴PB=PF，故③正确.
④如图，连接FD，
∵CF=CD，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CAB=45°，
∴DF//AB，
∴∠DFB=∠ABF.
∵∠CBF=∠CAD=$\frac{1}{2} \angle$CAB=22.5°，
∴∠DFB=∠DBF=22.5°，
∴DF=DB.
∵PF=PB，
∴PD⊥BF，
∴∠BDP=67.5°，故④正确.
故选D.

4. (西安模拟)如图，$AB$ 为$\odot O$的直径，$DE$，$BE$ 为$\odot O$的两条弦，$DE$ 交 $AB$ 于点 $C$，若$DC = CO$，且$\angle ACD = 68°$，则$\angle B$ 的度数为(B)。

A.$34°$
B.$39°$
C.$73°$
D.$146°$

答案：
4.B　[解析]如图，连接AD，
∵DC=CO，
∴∠COD=∠CDO.
∵∠ACD是△COD的一个外角，
∴∠ACD=∠COD+∠CDO=68°，
∴∠COD=∠CDO=34°.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=$\frac{180^{\circ} - \angle AOD}{2}$=73°，
∴∠ADE=∠ODA - ∠CDO=39°，
∴∠ADE=∠ABE=39°.故选B.

5. (德州德城区模拟)如图，在$□ ABCD$中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$，$EM \perp AE$，垂足为 $E$，交 $CD$ 于点 $M$。$AF \perp BC$，垂足为 $F$。$BH \perp AE$，垂足为 $H$，交 $AF$ 于点 $N$，连接 $AC$，$NE$。若$AE = BN$，$AN = CE$，则下列结论中正确的有(C)。
①$\triangle ANB \cong \triangle CEA$；
②$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；
③$\triangle NFE$ 是等腰直角三角形；
④$\triangle ANE \cong \triangle ECM$；
⑤$AD = \sqrt{2}CM + EC$。

A.$1$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个

答案： 5.C　[解析]
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC.
在△NBF和△EAF中，$\begin{cases} \angle BFN = \angle AFE \\ \angle NBF = \angle EAF \\ BN = AE \end{cases}$，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°.
∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，
∴∠ANB=∠CEA.
在△ANB和△CEA中，$\begin{cases} AN = CE \\ \angle ANB = \angle CEA \\ BN = AE \end{cases}$，
∴△ANB≌△CEA(SAS)，故①正确.
∴∠CAE=∠ABN.
∵∠NBF=∠EAF，
∴∠ABF=∠FAC=45°，
∴FC=AF=BF，∠ABC=45°，∠ENF=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，△NFE是等腰直角三角形，故②③正确.
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF.
在△ANE和△ECM中，$\begin{cases} \angle EAN = \angle MEC \\ AN = EC \\ \angle ANE = \angle ECM \end{cases}$，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，④正确，
∴CM=NE.
又NF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MC，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MC+EC，
∴AD=$\sqrt{2}$MC+2EC，故⑤不正确.
综上所述，正确的有①②③④，共4个.故选C.

6. (泰安三模)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = \sqrt{2}AB$，$\angle BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$，$DH \perp AE$ 于点 $H$，连接 $BH$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$，连接 $DE$ 交 $BF$ 于点 $O$。下列结论：
①$AE = AD$；②$\angle AED = \angle CED$；③ $H$ 为 $BF$ 的中点；④$CF = \dfrac{3}{2}DF$。其中正确的有 $$①②③$$。(将所有正确结论的序号填在横线上)
答案见$P12$

答案： 6.①②③　[解析]①设AB=a，则AD=$\sqrt{2}a$.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴BA=BE.
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{2}a$，
∴AE=AD，故①正确.
②
∵DH⊥AH，∠DAE=45°，AD=$\sqrt{2}a$，
∴DH=AH=a，
∴DH=DC，
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED=∠CED，故②正确.
③
∵AH=AB=a，
∴∠ABH=∠AHB.
∵AB//CD，
∴∠ABF+∠DFB=180°.
又∠AHB+∠BHE=180°，
∴∠BHE=∠HFD.
在△EBH和△DHF中，$\begin{cases} \angle BHE = \angle HFD \\ \angle HEB = \angle FDH = 45^{\circ} \\ BE = HD = a \end{cases}$，
∴△EBH≌△DHF(AAS)，
∴BH=HF，
∴H是BF的中点，故③正确.
④
∵△EBH≌△DHF，
∴HE=DF=AE - AH=$\sqrt{2}a - a$，
∴CF=a - ($\sqrt{2}a - a$)=$2a - \sqrt{2}a$，
∴CF=$\sqrt{2}$DF，故④错误.