《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (襄阳襄州区模拟)如图,等腰三角形$ ABC $的底边$ BC $长为$ 4 $,面积是$ 16 $,腰$ AC $的垂直平分线$ EF $分别交边$ AC,AB $于点$ E,F $,若$ D $为边$ BC $的中点,点$ M $为线段$ EF $上一动点,则$ \triangle CDM $周长的最小值为(C).

A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 10 $
D.$ 12 $
思路分步拆解
(第一步:作辅助线,求高$ AD $)连接$ AD $,由于$ \triangle ABC $是等腰三角形,$ D $是边$ BC $的中点,可知$ AD $$ BC $,再根据三角形的面积公式求出$ AD $的长为;
(第二步:用对称化折为直)根据$ EF $是线段$ AC $的垂直平分线可知,点$ C $关于直线$ EF $的对称点为点,则线段的长为$ CM + MD $的最小值,由此即可得出结论.

答案：
典例　思路分步拆解:⊥ 8 A AD
C　[解析]如图,连接AD,AM,

∵△ABC是等腰三角形，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC,CD=$\frac{1}{2}$BC = 2,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×4×AD = 16,解得AD = 8.
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A,则MA = MC,
∴MC + DM = MA + DM≥AD,
∴AD的长为CM + MD的最小值,
∴△CDM周长的最小值为CM + MD + CD = AD + CD = 8 + 2 = 10.故选C.