《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，在边长为2的正方形$ABCD$中，$P$是边$BC$上一动点(不含$B,C$两点)，将$\triangle ABP$沿直线$AP$翻折，点$B$落在点$E$处。在$CD$上有一点$M$，使得将$\triangle CMP$沿直线$MP$翻折后，点$C$落在直线$PE$上的点$F$处，直线$PE$交$CD$于点$N$，连接$MA,NA$，则以下结论：①$\triangle CMP \sim \triangle BPA$；②$\triangle CNP$的周长始终不变；③当$P$为$BC$的中点时，$AE$为线段$NP$的中垂线；④线段$AM$的最小值为$\sqrt{5}$；⑤当$\triangle ABP \cong \triangle ADN$时，$PB = 2\sqrt{2} - 2$。其中正确的有(B)。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
思路分步拆解
(第一步：求$\angle APM$的度数和证明全等)首先证明$\angle APM =$90$\boldsymbol{90}°$，利用三角形相似即可判断①是否正确；再利用$HL$证明$Rt\triangle ADN \cong Rt\triangle AEN$，得$DN =$EN$\boldsymbol{NE}$，可判断②是否正确；
(第二步：设立未知数，建立方程)设$ND = NE = y$，在$Rt\triangle PCN$中，由勾股定理，得$(y + 1)^2 = (2 - y)^2 + 1^2$，解得$y =$$\frac{2}{3}$$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$，可判断③是否正确；在$AB$上取一点$K$使$AK = PK$，设$PB = z$，易得$\angle BPK = \angle BPK = 45°$，则$AK = PK = \sqrt{2}z$，得$z + \sqrt{2}z = 2$，可判断⑤是否正确；
(第三步：用二次函数求最值)要确定线段$AM$的最小值，可建立恰当的二次函数解析式，再应用函数性质确定其最小值或最大值。设$PB = x$，则$PC = 2 - x$，由$\triangle CMP \sim \triangle BPA$，得$CM = \frac{x}{2}(2 - x)$，过点$M$作$MG \perp AB$于点$G$，则$AG$最小时，$AM$最小，由$AG = AB - BG = AB - CM = 2 - \frac{x}{2}(2 - x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{3}{2}$，可判断④是否正确。

答案：
典例思路分步拆解:90　EN　$\frac{2}{3}$
B　[解析]由折叠知∠APE=∠APB，∠MPN=∠MPC.
∵点C,P,B共线，
∴∠CPN+∠BPN=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∴∠CPM+∠APB=90°.
∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=2.
又∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA，故①正确;
∵将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，
∴AE=AB，∠AEP=∠ABP=90°，PE=PB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，∠ADC=∠AEN.
∵AN=AN，
∴Rt△ADN≌Rt△AEN(HL)，
∴DN=EN，
∴△CNP的周长为CD+CB=4，故②正确;
当PB=PC=PE=1时，设ND=NE=y.在Rt△PCN中，(y+1)²=(2−y)²+1²，解得y=$\frac{2}{3}$，
∴NE≠EP，故③错误;
设PB=x，则PC=2−x.
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{BP}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{x}{2}$(2−x).如图
(1)，过点M作MG⊥AB于点G.
∵AM=$\sqrt{MG²+AG²}$=$\sqrt{4+AG²}$，
∴当AG最小时，AM最小.
∵AG=AB−BG=AB−CM=2−$\frac{x}{2}$(2−x)=$\frac{1}{2}$(x−1)²+$\frac{3}{2}$，
∴当x=1时，AG最小值=$\frac{3}{2}$，
∴AM的最小值=$\sqrt{4+(\frac{3}{2})²}$=$\frac{5}{2}$，故④错误;
　　 　　
∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°.
如图
(2)，在AB上取一点K使AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°.
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴BK=PB=z，AK=PK=$\sqrt{2}z$，
∴z+$\sqrt{2}z$=2，
∴z=2$\sqrt{2}$−2，
∴PB=2$\sqrt{2}$−2，故⑤正确.故正确的有3个.故选B.