《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线的顶点坐标为$(2,0)$，且经过点$(4,1)$，如图，直线$y = \frac{1}{4}x$与抛物线交于$A,B$两点，直线$l$为$y = -1$。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 在$l$上是否存在一点$P$，使$PA + PB$取得最小值？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
(3) 已知$F(x_0,y_0)$为平面内一定点，$M(m,n)$为抛物线上一动点，且点$M$到直线$l$的距离与点$M$到点$F$的距离总是相等，求定点$F$的坐标。

答案：

(1)根据题意，设抛物线的解析式为$y = a(x - 2)^{2}$.
∵抛物线过点$(4,1)$，
∴$4a = 1$，
∴$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x - 2)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}-x + 1$.
(2)存在，点$P$的坐标为$(\frac{28}{13},-1)$.理由如下：
联立直线$AB$与抛物线解析式成方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x\\y=\frac{1}{4}x^{2}-x + 1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_{1}=1\\y_{1}=\frac{1}{4}\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=4\\y_{2}=1\end{cases}$，
∴$A(1,\frac{1}{4})$，$B(4,1)$.
作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$AB'$交直线$l$于点$P$，此时$PA + PB$取得最小值，如图所示.
∵$B(4,1)$，直线$l$为$y=-1$，
∴$B'(4,-3)$.设直线$AB'$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$A(1,\frac{1}{4})$，$B'(4,-3)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}k + b=\frac{1}{4}\\4k + b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{13}{12}\\b=\frac{4}{3}\end{cases}$，
∴直线$AB'$的解析式为$y=-\frac{13}{12}x+\frac{4}{3}$，当$y=-1$时，有$-\frac{13}{12}x+\frac{4}{3}=-1$，
∴$x=\frac{28}{13}$，
∴$P(\frac{28}{13},-1)$.
(3)
∵点$M$到直线$l$的距离与点$M$到点$F$的距离总是相等，
∴$(n + 1)^{2}=(m - x_{0})^{2}+(n - y_{0})^{2}$.
∵$M(m,n)$为抛物线上一动点，
∴$n=\frac{1}{4}m^{2}-m + 1$，
∴$2(\frac{1}{4}m^{2}-m + 1)+1=m^{2}-2x_{0}m + x_{0}^{2}-2y_{0}·(\frac{1}{4}m^{2}-m + 1)+y_{0}^{2}$，整理得$0=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y_{0})m^{2}+(2 - 2x_{0}+2y_{0})m+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2y_{0}-3$，
∵$m$为任意值，
∴$\begin{cases}1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y_{0}=0\\2 - 2x_{0}+2y_{0}=0\\x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2y_{0}-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_{0}=2\\y_{0}=1\end{cases}$，
∴定点$F$的坐标为$(2,1)$.

4. 已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，且过点$(1,\frac{1}{4})$和点$(2,1)$。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 若点$D(-1,p)$和点$E(m - 1,q)$在抛物线上，试比较$p,q$的大小。
(3) 过点$F(0,1)$作与$y$轴不垂直的直线交抛物线于点$A$和点$B$，线段$AB$的垂直平分线交$y$轴于点$M$，试探究$\frac{AB}{FM}$的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由。

答案：

(1)
∵抛物线关于$y$轴对称，
∴$-\frac{b}{2a}=0$，即$b = 0$，
∴$y = ax^{2}+c$.
将$(1,\frac{1}{4})$，$(2,1)$代入$y = ax^{2}+c$，
得$\begin{cases}a + c=\frac{1}{4}\\4a + c=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\c=0\end{cases}$，
∴$y=\frac{1}{4}x^{2}$.
(2)点$D(-1,p)$关于$y$轴对称点坐标为$(1,p)$.
∵抛物线开口向上，
∴当$m - 1 = 1$，即$m = 2$时，$p = q$；当$m - 1=-1$，即$m = 0$时，$p = q$；当$-1＜m - 1＜1$，即$0＜m＜2$时，$p＞q$；当$m - 1＜-1$或$m - 1＞1$，即$m＜0$或$m＞2$时，$p＜q$.
(3)$\frac{AB}{FM}$的值是定值，为$2$.理由如下：
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b_{1}$.
∵直线$AB$过点$(0,1)$，
∴$y = kx + 1$，令$kx + 1=\frac{1}{4}x^{2}$，整理得$\frac{1}{4}x^{2}-kx - 1 = 0$.设点$A(x_{1},\frac{1}{4}x_{1}^{2})$，$B(x_{2},\frac{1}{4}x_{2}^{2})$，
∴$x_{1}+x_{2}=4k$，$x_{1}· x_{2}=-4$.
设$AB$的中点为$P(x_{0},y_{0})$，则$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2k$，
∴$y_{0}=k·2k + 1=2k^{2}+1$，
∴$P(2k,2k^{2}+1)$.
如图，过点$P$作$PG\perp y$轴于点$G$，则点$G$坐标为$(0,2k^{2}+1)$，作$x$轴的平行线$AK$交过点$B$的$y$轴平行线于点$K$.
∵$MP\perp AB$，$\angle MFP=\angle AFO$，
∴$\angle BAK=\angle PMG$，
∴$\tan\angle BAK=\tan\angle PMG$，
∴$\frac{BK}{AK}=\frac{PG}{GM}$，即$\frac{\frac{1}{4}x_{2}^{2}-\frac{1}{4}x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2k}{GM}$，
∴$GM = 2$，
∴$M(0,2k^{2}+3)$，
∴$MF=2k^{2}+3 - 1=2k^{2}+2$.
∵$AB=\sqrt{(\frac{1}{4}x_{2}^{2}-\frac{1}{4}x_{1}^{2})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}$
$=\sqrt{\frac{1}{16}(x_{1}+x_{2})^{2}·(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}]}$
$=\sqrt{(1 + k^{2})(16k^{2}+16)}=4(1 + k^{2})$，
∴$\frac{AB}{FM}=\frac{4(1 + k^{2})}{2k^{2}+2}=2$.