《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 方程思想 已知对称轴为直线$ x = 1 $的二次函数$ y = ax^2 + bx + 4(a \lt 0) $的图象与$ x $轴交于$ A $，$ B(4,0) $，与$ y $轴交于点$ C $。
(1) 求抛物线的解析式和直线$ BC $的解析式。
(2) 点$ M $是对称轴上的一个动点，连接$ AM $，$ CM $，是否存在点$ M $使$ |AM - CM| $最大？若存在，求出点$ M $的坐标；若不存在，请说明理由。
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点$ P $，使$ \triangle BCP $是直角三角形？若存在，请直接写出
点$ P $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
1.
(1)将$B(4,0)$代入$y = ax^{2}+bx + 4(a \lt 0)$，得$0 = 16a + 4b + 4$。
又对称轴为直线$x = 1 = -\frac{b}{2a}$，解得$a = -\frac{1}{2}$，$b = 1$，
$\therefore y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$，令$x = 0$，则$y = 4$，$\therefore C(0,4)$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx + t$，
把$B(4,0)$，$C(0,4)$代入，得$\begin{cases}4k + t = 0\\t = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\t = 4\end{cases}$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = -x + 4$。
(2)存在点$M$使$\vert AM - CM\vert$最大。如图，连接$AM$，$CM$，则$\vert AM - CM\vert\leq AC$。
结合图形中$M$和$M'$两种位置关系可得，当$A$，$C$，$M$三点共线时，$\vert AM - CM\vert$有最大值，延长$AC$交对称轴于点$M$，则$AM - CM = AC$。
$\because$当$y = 0$时，$0 = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2} = -2$，$\therefore A(-2,0)$。
设直线$AC$的解析式为$y = mx + 4$，
$\therefore 0 = -2m + 4$，解得$m = 2$，故直线$AC$解析式为$y = 2x + 4$。
当$x = 1$时，$y = 6$，故$M(1,6)$。

(3)存在点$P$，使$\triangle BCP$是直角三角形。
由对称轴为直线$x = 1$可设$P(1,n)$。
$\because B(4,0)$，$C(0,4)$，$\therefore BC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$，$BP^{2}=(4 - 1)^{2}+n^{2}$，$PC^{2}=1^{2}+(4 - n)^{2}$。
①当$\angle BCP = 90^{\circ}$时，$BP^{2}=BC^{2}+PC^{2}$，$\therefore(4 - 1)^{2}+n^{2}=32 + 1^{2}+(4 - n)^{2}$，解得$n = 5$；
②当$\angle CBP = 90^{\circ}$时，$PC^{2}=BC^{2}+BP^{2}$，$\therefore1^{2}+(4 - n)^{2}=(4 - 1)^{2}+n^{2}+32$，解得$n = -3$；
③当$\angle BPC = 90^{\circ}$时，$BC^{2}=BP^{2}+PC^{2}$，$32=(4 - 1)^{2}+n^{2}+1^{2}+(4 - n)^{2}$，解得$n = 2+\sqrt{7}$或$n = 2-\sqrt{7}$。
综上所述，点$P$的坐标为$(1,5)$或$(1,-3)$或$(1,2+\sqrt{7})$或$(1,2-\sqrt{7})$。