《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 已知函数$y_1 = ax^2 + 3b$,$y_2 = -ax + b$,定义新函数$y$:$y = 2y_1 - y_2$.
(1)若新函数$y$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 5$,求函数$y_1$与$y_2$的解析式.
(2)在(1)条件下,点$A(m,n)$在函数$y_2$上,过点$A$作$y$轴的平行线交函数$y_1$的图象于点$B$,且当$x \geq -3$时.
①若点$A,B$重合,求$m$的值;
②过点$B$作$x$轴的平行线交函数$y_2$图象于点$C$,函数$f$:$f = AB + BC$,求函数$f$关于$m$的解析式(写出自变量$m$的取值范围);$\triangle ABC$的面积是否存在最大值,若存在,请直接写出$\triangle ABC$面积的最大值,若不存在请说明理由.

答案：

(1)已知函数y₁ = ax² + 3b，y₂ = -ax + b，定义新函数y:y = 2y₁ - y₂.
∴y = 2y₁ - y₂ = 2(ax² + 3b) - (-ax + b) = 2ax² + ax + 5b.
∵新函数y的解析式为y = - $\frac{2}{3}$x² - $\frac{1}{3}$x + 5，
∴$\begin{cases}2a = - \frac{2}{3}\\5b = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{3}\\b = 1\end{cases}$，
∴y₁ = - $\frac{1}{3}$x² + 3，y₂ = $\frac{1}{3}$x + 1.
(2)①
∵A(m,n)，点A,B重合，
∴B(m,n).
把点A的坐标代入y₂ = $\frac{1}{3}$x + 1，得$\frac{1}{3}$m + 1 = n，把点B的坐标代入y₁ = - $\frac{1}{3}$x² + 3，得- $\frac{1}{3}$m² + 3 = n，
∴- $\frac{1}{3}$×m² + 3 = $\frac{1}{3}$m + 1，解得m₁ = -3，m₂ = 2，
∴m的值为-3或2.
②△ABC的面积存在最大值，最大值为$\frac{625}{96}$.理由如下:把点A的坐标代入y₂ = $\frac{1}{3}$x + 1，得n = $\frac{1}{3}$m + 1，
∴A(m,$\frac{1}{3}$m + 1).
∵AB//y轴交函数y₁的图象于点B，
∴B(m,- $\frac{1}{3}$m² + 3).
∵BC//x轴交函数y₂的图象于点C，
∴点C纵坐标为- $\frac{1}{3}$m² + 3，
把y = - $\frac{1}{3}$m² + 3代入y₂ = $\frac{1}{3}$x + 1，得- $\frac{1}{3}$m² + 3 = $\frac{1}{3}$x + 1，解得x = -m² + 6，
∴C(-m² + 6,- $\frac{1}{3}$m² + 3)，
当-3 ≤ m ≤ 2时，
注意分类讨论以及端点值
f = AB + BC = (- $\frac{1}{3}$m² + 3 - $\frac{1}{3}$m - 1) + (-m² + 6 - m)
= - $\frac{4}{3}$m² - $\frac{4}{3}$m + 8，
当2 ＜ m ≤ 3时，f = AB + BC = ($\frac{1}{3}$m + 1 + $\frac{1}{3}$m² - 3) + (m + m² - 6) = $\frac{4}{3}$m² + $\frac{4}{3}$m - 8，
∴$f = \begin{cases}- \frac{4}{3}m^2 - \frac{4}{3}m + 8, & (-3 \leq m \leq 2)\frac{4}{3}m^2 + \frac{4}{3}m - 8, & (2 ＜ m \leq 3)\end{cases}$
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·BC，
∴当-3 ≤ m ≤ 2时，如图
(1)，
AB = (- $\frac{1}{3}$m² + 3) - ($\frac{1}{3}$m + 1) = - $\frac{1}{3}$(m + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{25}{12}$，BC = (-m² + 6) - m = -(m + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{25}{4}$.
∵- $\frac{1}{3}$ ＜ 0，-1 ＜ 0，
∴当m = - $\frac{1}{2}$时，AB,BC取得最大值，AB最大值为$\frac{25}{12}$，BC最大值为$\frac{25}{4}$，此时，△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{12}$×$\frac{25}{4}$ = $\frac{625}{96}$;

当m ＞ 2时，如图
(2)，
AB = ($\frac{1}{3}$m + 1) - (- $\frac{1}{3}$m² + 3) = $\frac{1}{3}$m² + $\frac{1}{3}$m - 2 = $\frac{1}{3}$(m + $\frac{1}{2}$)² - $\frac{25}{12}$，BC = m - (-m² + 6) = m² + m - 6 = (m + $\frac{1}{2}$)² - $\frac{25}{4}$.
∵$\frac{1}{3}$ ＞ 0，1 ＞ 0，对称轴为直线x = - $\frac{1}{2}$，
∴AB,BC有最小值，当m ＞ - $\frac{1}{2}$时，AB,BC都随着m的增大而增大.
∵ - 3 ≤ m ≤ 3
注意限定条件
∴当m = 3时，AB,BC都取得最大值，AB最大值为2，BC最大值为6，
∴此时，△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$×2×6 = 6.
∵$\frac{625}{96}$ ＞ 6，
∴△ABC的面积存在最大值，最大值为$\frac{625}{96}$.

2. 中考新考法 新定义问题 定义:平面直角坐标系$xOy$中,点$P(a,b)$,点$Q(c,d)$,若$c = ka$,$d = -kb$,其中$k$为常数,且$k \neq 0$,则称点$Q$是点$P$的“$k$级变换点”.例如,点$(-4,6)$是点$(2,3)$的“$-2$级变换点”.
(1)函数$y = -\frac{4}{x}$的图象上是否存在点$(1,2)$的“$k$级变换点”? 若存在,求出$k$的值;若不存在,说明理由.
(2)动点$A\left(t,\frac{1}{2}t - 2\right)$与其“$k$级变换点”$B$分别在直线$l_1$,$l_2$上,在$l_1$,$l_2$上分别取点$(m^2,y_1)$,$(m^2,y_2)$.若$k \leq -2$,求证:$y_1 - y_2 \geq 2$.
(3)关于$x$的二次函数$y = nx^2 - 4nx - 5n$$(x \geq 0)$的图象上恰有两个点,这两个点的“$1$级变换点”都在直线$y = -x + 5$上,求$n$的取值范围.

答案：

(1)存在.理由如下:
由题意，得(1,2)的“k级变换点”为(k,-2k)，将(k,-2k)代入反比例函数解析式得-4 = k·(-2k)，解得k = ± $\sqrt{2}$.
(2)由题意，得点B的坐标为(kt,- $\frac{1}{2}$kt + 2k)，由点A的坐标知，点A在直线y = $\frac{1}{2}$x - 2上.
同理可得，点B在直线y = - $\frac{1}{2}$x + 2k上，
则y₁ = $\frac{1}{2}$m² - 2，y₂ = - $\frac{1}{2}$m² + 2k，
则y₁ - y₂ = $\frac{1}{2}$m² - 2 + $\frac{1}{2}$m² - 2k = m² - 2k - 2.
∵k ≤ -2，则-2k - 2 + m² ≥ 2，即y₁ - y₂ ≥ 2.
(3)设在二次函数上的点为点A，B，
设点A(s,t)，则其“1级变换点”坐标为(s,-t)，
将(s,-t)代入y = -x + 5得-t = -s + 5，
则t = s - 5，即点A在直线y = x - 5上，
同理可得，点B在直线y = x - 5上，即点A,B所在的直线为y = x - 5;
由抛物线的解析式知，其和x轴的交点为(-1,0)，(5,0)，其对称轴为直线x = 2，当n ＞ 0时，抛物线和直线AB的大致图象如图:

直线和抛物线均过点(5,0)，则点A，B必然有一个点为(5,0)，设该点为点B，另外一个点为点A，
联立直线AB和抛物线的解析式得nx² - 4nx - 5n = x - 5，整理，得nx² - (4n + 1)x - 5n + 5 = 0.
设点A的横坐标为x，
则x + 5 = $\frac{4n + 1}{n}$.
运用根与系数的关系
∵x ≥ 0，则$\frac{4n + 1}{n}$ - 5 ≥ 0，解得0 ＜ n ≤ 1，此外，直线AB和抛物线在x ≥ 0时有两个交点，
故$\Delta$ = (-4n - 1)² - 4n(5 - 5n) = (6n - 1)² ＞ 0，故n ≠ $\frac{1}{6}$，即0 ＜ n ≤ 1且n ≠ $\frac{1}{6}$;
若n ＜ 0，则当x ≥ 0时，直线AB不可能和抛物线在x ≥ 0时有两个交点，故该情况不存在.
综上所述，n的取值范围为0 ＜ n ≤ 1且n ≠ $\frac{1}{6}$.