《2025年实验班中考数学压轴题》

2. (肇庆一模)如图，在正方形$ABCD$中，点$E$是$AB$上一点，点$F$在$BC$的延长线上，且$AE = CF$，连接$DE$，$DF$，$EF$，$BD$，其中$EF$交$CD$于点$G$，下列结论：①$\angle DEF = 45°$；②$\triangle BCD \cong \triangle EDF$；③若$AB = 3$，$AE = \dfrac{1}{3}AB$，则$S_{\triangle DEF} = 5$；④若$E$为$AB$的中点，则$\dfrac{EF}{BD} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$。其中正确的结论是(B)。

A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③

答案： 2. B [解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = CD = BC，∠DAE = ∠BCD = 90°，
∴∠DAE = ∠DCF。
∵AE = CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE = DF，∠ADE = ∠CDF。
∵∠ADE + ∠EDC = 90°，
∴∠CDF + ∠EDC = 90°，
∴∠EDF = 90°，
∴∠DEF = ∠DFE = 45°，故①正确；
⇒形状相同的两个三角形相似
∵AB = 3，AE = 1/3AB，
∴AE = 1，
∴DE = √(AD² + AE²) = √(9 + 1) = √10。
∵DE = DF = √10，∠EDF = 90°，
∴S△DEF = 1/2 × √10 × √10 = 5，故③正确；
设AB = BC = AD = 2a，则BD = 2√2a。
⇒求线段比值时常利用设值法
∵E为AB的中点，
∴AE = a，
∴DE = √(AD² + AE²) = √5a。
∵DE = DF = √5a，∠EDF = 90°，
∴EF = √10a，
∴EF/BD = √10a/(2√2a) = √5/2，故④错误。故选B。

3. 如图，在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$OA = OB$，$OC = OD$，$OA \lt OC$，$\angle AOB = \angle COD = 36°$，连接$AC$，$BD$交于点$M$，连接$OM$。下列结论：①$\angle AMB = 36°$；②$AC = BD$；③$OM$平分$\angle AOD$；④$MO$平分$\angle AMD$。其中正确的结论是$\boldsymbol{$①②④$}$(填序号)。

答案：
3. ①②④　[解析]
∵∠AOB = ∠COD = 36°，
∴∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC，即∠AOC = ∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
∠AOC = ∠BOD，
OA = OB，
OC = OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA = ∠ODB，AC = BD，故②正确；
∵∠OAC = ∠OBD，由三角形的内角和可得∠AMB + ∠OBD = ∠OAC + ∠AOB，
∴∠AMB = ∠AOB = 36°，故①正确；
过点O作OG⊥AM于点G，OH⊥DM于点H，如图所示，

则∠OGM = ∠OHM = 90°。
∵△AOC≌△BOD，
∴OG = OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
⇒全等三角形对应边上的高也对应相等
假设OM平分∠AOD，则∠DOM = ∠AOM。
在△AMO与△DMO中，
OM = OM，
∠AMO = ∠DMO，
∴△AMO≌△DMO(ASA)，
∴AO = OD。
∵OC = OD，
∴OA = OC。而OA＜OC，故③错误。
综上所述，其中正确的结论是①②④。

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90°$，$AD \perp BC$于点$D$，$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，交$AD$于点$G$，过点$A$作$AF \perp BE$于点$H$，交$BC$于点$F$。下列结论：①$\angle AGE = \angle AEG$；②$AE = DF$；③$DG + CD = AB$；④$S_{\triangle ABF} = 2S_{\triangle AFC} + S_{\triangle AGE}$。其中正确的结论是$\boldsymbol{$①③④$}$(填序号)。

答案：
4. ①③④　[解析]
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABG = ∠CBG。
∵AD⊥BC，
∴∠BAC = ∠ADB = 90°，
∴∠ABG + ∠AEG = ∠CBG + ∠BGD = 90°，
∴∠BGD = ∠AEB。
∵∠AGE = ∠BGD，
∴∠AGE = ∠AEG，故①正确；
如图，连接FG。

∵∠ABH = ∠FBH，BH = BH，∠AHB = ∠FHB，
∴△ABH≌△FBH(ASA)，
∴AH = HF，
∴BH垂直平分AF，
∴AG = FG，
∴AE = FG。
∵AD⊥BC，
∴∠GDF = 90°，
∴FG＞DF，
∴AE＞DF，故②错误；
⇒直角三角形斜边大于直角边
∵BH垂直平分AF，
∴AB = BF，
∴△ABG≌△FBG(SSS)，
∴∠BFG = ∠BAD = 45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DF = DG。
∵BD = CD，
∴AB = BF = BD + DF = CD + DG，故③正确；
∵∠AGE = ∠AEG，AF⊥EG，
∴GH = EH。
∵AH = FH，∠AHE = ∠FHG，
∴△AEH≌△FGH(SAS)，
∴S△AEH = S△FGH，
∴S△AEG = S△AFG。
∵AD = BD = CD，DG = DF，
∴AG = CF。
∵AB = AC，∠BAD = ∠C = 45°，
∴△ABG≌△CAF(SAS)，
∴S△ABG = S△ACF。
∵△ABG≌△FBG，
∴S△FBG = S△ACF，
∴S△ABF = S△ABG + S△FBG + S△AFG = 2S△AFC + S△AGE，故④正确。
综上所述，正确的结论是①③④。

5. (内江二中二模)如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 4$，$E$为对角线$AC$上与$A$，$C$不重合的一个动点，过点$E$作$EF \perp AB$于点$F$，$EG \perp BC$于点$G$，连接$DE$，$FG$。下列结论：①$DE = FG$；②$DE \perp FG$；③$\angle BFG = \angle ADE$；④$FG$的最小值为$3$。其中正确结论的序号为$\boldsymbol{$①②③$}$。

答案： 5. ①②③　[解析]如图，连接BE，交FG于点O。
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB = ∠EGB = 90°。
∵∠ABC = 90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG = BE，OB = OF = OE = OG。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB = AD，∠BAC = ∠DAC = 45°。
在△ABE和△ADE中，
∠BAE = ∠DAE，
AB = AD，
AE = AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE = DE，
∴DE = FG，故①正确；
如图，延长DE交FG于点M，交FB于点H。
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE = ∠ADE。
由①知，OB = OF，
∴∠OFB = ∠ABE，
∴∠OFB = ∠ADE。
∵∠BAD = 90°，
∴∠ADE + ∠AHD = 90°，
∴∠OFB + ∠AHD = 90°，即∠FMH = 90°，
∴DE⊥FG，故②正确；
由②知∠OFB = ∠ADE，
即∠BFG = ∠ADE，故③正确；
∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小。
∵AD = CD = 4，∠ADC = 90°，
∴AC = √(AD² + CD²) = 4√2，
∴DE = 1/2AC = 2√2。
由①知，FG = DE，
∴FG的最小值为2√2，故④错误。
综上所述，正确结论的序号为①②③。

6. (福田模拟改编)如图，在等边三角形$ABC$中，过点$C$作射线$CD \perp BC$，点$M$，$N$分别在边$AB$，$BC$上，将$\triangle ABC$沿$MN$折叠。使点$B$落在射线$CD$上的点$B'$处，连接$AB'$。已知$AB = 2$。给出下列四个结论：①$CN + NB'$为定值；②当$\angle NB'C = 30°$时，四边形$BMB'N$为菱形；③当点$N$与$C$重合时，$\angle AB'M = 22.5°$；④当$AB'$最短时，$MN = \dfrac{7\sqrt{21}}{10}$。其中正确的结论是$\boldsymbol{$①②$}$(填序号)。

答案：
6. ①②　[解析]
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，
∴NB = NB'，
∴CN + NB' = CN + NB = BC。
∵△ABC是等边三角形，AB = 2，
∴BC = 2，
∴CN + NB' = BC = 2，为定值，故①正确；
∵∠NB'C = 30°，∠B'CN = 90°，
∴∠B'NC = 60°，
∴∠BNB' = 120°。
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，
∴∠BNM = ∠MNB' = 60°，BM = B'M，BN = B'N。
∵∠B = 60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM = BN，
∴B'M = BM = BN = B'N，
∴四边形BMB'N为菱形，故②正确；
如图
(1)，当点N与C重合时。
∵∠ACB = 60°，∠DCB = 90°，
∴∠ACD = 30°。
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，
∴AC = BC = B'C，∠MB'C = ∠B = 60°，
∴∠B'AC = ∠AB'C = (180° - 30°)÷2 = 75°，
∴∠AB'M = ∠AB'C - ∠MB'C = 75° - 60° = 15°，故③错误；

如图
(2)，当AB'最短时，∠AB'C = 90°，过M作KT⊥BC于点T，交B'A延长线于点K。
∵∠ACB' = ∠BCB' - ∠BCA = 30°，
∴∠B'AC = 60°，AB' = 1/2AC = 1，
∴B'C = √3AB' = √3。
设BN = B'N = x，则CN = 2 - x，
在Rt△B'CN中，B'N² = CN² + B'C²，
∴x² = (2 - x)² + (√3)²，解得x = 7/4，
∴BN = 7/4。
∵∠AB'C = 90° = ∠BCB'，
∴AB'//BC，
∴KT⊥AB'，
∴∠K = 90°。
∵∠KAM = 180° - ∠BAC - ∠B'AC = 60°，
∴∠KMA = 30°，
∴AK = 1/2AM，KM = √3/2AM。
设AM = y，则BM = 2 - y = B'M，AK = 1/2y，KM = √3/2y，
∴B'K = AB' + AK = 1 + 1/2y。
在Rt△B'KM中，B'K² + KM² = B'M²，
∴(1 + 1/2y)² + (√3/2y)² = (2 - y)²，解得y = 3/5，
∴AM = 3/5，BM = 7/5。
在Rt△BMT中，∠B = 60°，
∴BT = 1/2BM = 7/10，
∴MT = √3BT = 7√3/10，
∴NT = BN - BT = 21/20。
在Rt△MNT中，MN = √(NT² + MT²) = √((21/20)² + (7√3/10)²) = 7√21/20，
⇒本题多利用勾股定理计算线段值，注意正确性
故④错误。
综上所述，正确的结论是①②。

7. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是对角线$BD$上一点，且满足$BE = BC$。连接$CE$并延长交$AD$于点$F$，连接$AE$，过点$B$作$BG \perp AE$于点$G$，延长$BG$交$AD$于点$H$。下列结论：①$AH = DF$；②$\angle AEF = 45°$；③$AH = DE$；④$S_{四边形EFHG} = S_{\triangle DEF} + S_{\triangle AGH}$。其中正确的结论是$\boldsymbol{$①②③$}$(填序号)。

答案：
7. ①②③　[解析]
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE = ∠ADE = ∠CDE = 45°，AB = BC。
∵BE = BC，
∴AB = BE。
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH = ∠DBH = 22.5°，
∴在Rt△ABH中，∠AHB = 90° - ∠ABH = 67.5°。
∵∠AGH = 90°，
∴∠DAE = ∠ABH = 22.5°。
在△ADE和△CDE中，
∠ADE = ∠CDE，
AD = CD，
DE = DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE = ∠DCE = 22.5°，
∴∠ABH = ∠DCF。
在△ABH和△DCF中，
AB = CD，
∠ABH = ∠DCF，
∴△ABH≌△DCF(ASA)，
∴AH = DF，∠CFD = ∠AHB = 67.5°。
∵∠CFD = ∠EAF + ∠AEF，
∴67.5° = 22.5° + ∠AEF，
∴∠AEF = 45°，故①②正确；
∵∠FDE = 45°，∠DFE = 67.5°，
∴∠DEF = 180° - 45° - 67.5° = 67.5°，
∴DF = DE。
∵AH = DF，
∴AH = DE，故③正确；
如图，连接HE。

∵BH是AE的垂直平分线，
∴AG = EG，
∴S△AGH = S△HEG。
∵AH = HE，
∴∠AHG = ∠EHG = 67.5°，
∴∠DHE = 45°。
∵∠ADE = 45°，
∴∠DEH = 90°，∠DHE = ∠HDE = 45°，
∴EH = ED，
∴△DEH是等腰直角三角形。
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△DEF，
∴S四边形EFHG = S△HEG + S△EFH≠S△DEF + S△AGH，故④错误。
综上所述，正确的结论是①②③。

8. (哈尔滨五常一模)如图，在矩形$ABCD$中，$O$是$AB$的中点，$M$是$CD$的中点，点$P$在$AM$上(不与点$A$重合)，且$OP = \dfrac{1}{2}AB$，连接$CP$并延长，交$AD$于点$N$。下列结论：①$AP = PM$；②$\angle MAB = \angle PBC$；③若$AN = 1$，$BC = 4$，则$NC = 5$；④$AB^2 = 4NP · PC$。其中正确结论的序号为$\boldsymbol{$②③④$}$。
答案见$\boldsymbol{P35}$

答案：
8. ②③④　[解析]
∵O是AB的中点，
∴AO = OB = 1/2AB。
∵OP = 1/2AB，
∴OP = OA = OB，
∴∠OBP = ∠BPO，∠OAP = ∠APO。
∵∠OAP + ∠APO + ∠OBP + ∠BPO = 180°，
∴∠APO + ∠BPO = 90°，
∴∠APB = 90°，
∴∠MAB + ∠ABP = 90° = ∠ABP + ∠PBC，
∴∠MAB = ∠PBC，故②正确；
当AN = 1，BC = 4时，如图
(1)，延长AM，BC交于点Q。
∵M是CD的中点，
∴DM = CM。
∵∠D = ∠MCQ = 90°，∠AMD = ∠QMC，
∴△ADM≌△QCM(ASA)，
∴AD = CQ = BC。
∵∠BPQ = 90°，
∴PC = 1/2BQ = BC = 4，
∴∠CPB = ∠CBP。
∵∠OPB = ∠OBP，
∴∠OBC = ∠OPC = 90°，
∴∠OPN = ∠OPA + ∠APN = 90°。
∵∠OAP + ∠PAN = 90°，∠OAP = ∠OPA，
∴∠APN = ∠PAN，
∴PN = AN = 1，
∴ NC = 5，故③正确；
如图
(2)，连接NO，CO。
∵AN = NP，AO = PO = OB，BC = CP，
∴NO垂直平分AP，CO垂直平分BP，
∴ON平分∠AOP，OC平分∠BOP。
∵∠AOP + ∠BOP = 180°，
∴∠NOC = 90°。
∵∠OBP + ∠CBP = 90°，
∴∠OPB + ∠CPB = 90° = ∠CPO，
∴∠NPO = ∠CPO = 90°，
∴∠CNO + ∠NCO = 90° = ∠CNO + ∠NOP，
∴∠NCO = ∠NOP，
∴Rt△NPO∽Rt△OPC，
⇒此处为子母相似三角形，这两个三角形也都与Rt△NOC相似
∴NP/OP = OP/PC，
∴OP·OP = NP·PC，即1/2AB·1/2AB = NP·PC，
∴AB² = 4NP·PC，故④正确；
由题意无法证明AP = PM，故①错误。
综上所述，正确结论的序号为②③④。