《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (常州模拟)如图，在$ \triangle ABC $中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，$ D $是$ BC $的中点，点$ E $在$ AC $上且$ CE = 2AE $，将线段$ DE $绕点$ D $顺时针旋转$ 90° $得到线段$ DF $，连接$ AF $，则$ AF $的长为(C)。
A.$ 5 $
B.$ \dfrac{16}{3} $
C.$ \dfrac{17}{3} $
D.$ 6 $

思路分步拆解
(第一步：作辅助线，找出关键边角关系)连接$ AD $并延长，作$ FH \perp AD $的延长线于点$ H $，作$ EG \perp AD $于点$ G $，$ D $为$ BC $的中点，由三线合一可知$ AD $⊥ $ BC $，$ AD $平分$ \angle BAC $，则$ AD = $4；
(第二步：综合应用平行线分线段成比例和锐角三角函数)由$ GE // BC $，可得$ \dfrac{AG}{GD} = \dfrac{AE}{CE} = $$\frac{1}{2}$，$ AG = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{4}{3} $，$ DG = $$\frac{8}{3}$，由$ \angle BAD = \angle CAD $，可得$ \tan \angle BAD = \tan \angle CAD $，即$ \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{GE}{AG} $，故$ GE = \dfrac{3}{4}AG = $1；
(第三步：找全等关系，得到关键边长)根据条件可得$ \triangle GDE \cong \triangle $HFD，故$ DH = GE = 1 $，$ HF = GD = $$\frac{8}{3}$，$ AH = AD + DH = 4 + 1 = 5 $，在$ Rt\triangle AHF $中，由勾股定理可得$ AF $的长为$\frac{17}{3}$。

答案：
典例　思路分步拆解:⊥ 4 $\frac{1}{2}$ $\frac{8}{3}$ 1 HFD $\frac{8}{3}$ $\frac{17}{3}$
C　[解析]如图所示，连接AD并延长，作FH⊥AD的延长线于点H，作EG⊥AD于点G.

∵AB = AC = 5，BC = 6，D为BC的中点，
∴由三线合一可知，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴BD = CD = 3，
∴AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = 4.
∵GE//BC，
∴$\frac{AG}{GD}$ = $\frac{AE}{CE}$ = $\frac{1}{2}$，
∴AG = $\frac{1}{3}$AD = $\frac{4}{3}$，DG = $\frac{8}{3}$.
∵∠BAD = ∠CAD，
∴tan∠BAD = tan∠CAD，
即$\frac{BD}{AD}$ = $\frac{3}{4}$ = $\frac{GE}{AG}$，
∴GE = $\frac{3}{4}$AG = 1.
∵∠EDF = 90°，
∴∠GDE + ∠HDF = 90°.
又∠GDE + ∠GED = 90°，
∴∠HDF = ∠GED.
在△GDE和△HFD中，$\left\{ \begin{array}{l} \angle EGD = \angle DHF = 90^{\circ}, \\ \angle GED = \angle HDF, \\ DE = DF, \end{array} \right.$
∴△GDE≌△HFD(AAS)，
∴DH = GE = 1，HF = GD = $\frac{8}{3}$，
∴AH = AD + DH = 4 + 1 = 5.
在Rt△AHF中，由勾股定理，可得AF = $\sqrt{AH^{2} + HF^{2}}$ = $\sqrt{25 + \frac{64}{9}}$ = $\frac{17}{3}$. 故选C.