《2025年实验班中考数学压轴题》

3. (盐城中考)定义:若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.
[初步理解]
(1)现有以下两个函数:①$y = x^2 - 1$;②$y = x^2 - x$,其中,①为函数$y = x - 1$的轴点函数;(填序号)
[尝试应用]
(2)函数$y = x + c$($c$为常数,$c ＞ 0$)的图象与$x$轴交于点$A$,其轴点函数$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴的另一交点为点$B$.若$OB = \frac{1}{4}OA$,求$b$的值;
[拓展延伸]
(3)如图,函数$y = \frac{1}{2}x + t$($t$为常数,$t ＞ 0$)的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$M,C$两点,在$x$轴的正半轴上取一点$N$,使得$ON = OC$.以线段$MN$的长度为长、线段$MO$的长度为宽,在$x$轴的上方作矩形$MNDE$.若函数$y = \frac{1}{2}x + t$($t$为常数,$t ＞ 0$)的轴点函数$y = mx^2 + nx + t$的顶点$P$在矩形$MNDE$的边上,求$n$的值.

答案：

(1)① [解析]
∵函数y = x - 1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,-1)，函数y = x² - 1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,-1)，函数y = x² - x与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,0)，
∴函数y = x² - 1为函数y = x - 1的轴点函数，函数y = x² - x不是函数y = x - 1的轴点函数.
(2)令y = 0，得x + c = 0，解得x = -c，
∴A(-c,0).令x = 0，得y = c，
∴函数y = x + c(c为常数，c ＞ 0)的图象与y轴交于点(0,c).
∵其轴点函数y = ax² + bx + c经过点A(-c,0)，
∴ac² - bc + c = 0，且c ＞ 0，
∴ac - b + 1 = 0，即b = ac + 1，
∴y = ax² + (ac + 1)x + c.
设B(x',0)，则x'(-c) = $\frac{c}{a}$，
∴x' = - $\frac{1}{a}$，
∴B(- $\frac{1}{a}$,0)，
∴OB = $\begin{vmatrix}- \frac{1}{a}\end{vmatrix}$，OA = c.
注意两点距离用绝对值表示，避免漏解
∵OB = $\frac{1}{4}$OA，
∴$\begin{vmatrix}- \frac{1}{a}\end{vmatrix} = \frac{1}{4}c$，
∴ac = ± 4，
∴b = 5或-3.
(3)由题意，得M(-2t,0)，C(0,t)，N(t,0).
∵四边形MNDE是矩形，ME = OM = 2t，
∴D(t,2t)，E(-2t,2t)，当m ＞ 0时，轴点函数y = mx² + nx + t的顶点P与点M重合，即P(-2t,0)，如图
(1)，$\begin{cases}4mt^2 - 2nt + t = 0\\- \frac{n}{2m} = -2t\end{cases}$，消去m，t，得n² + 2n - 1 = 0，解得$n_1 = \sqrt{2} - 1$，$n_2 = - \sqrt{2} - 1$.
∵函数y = mx² + nx + t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n ＜ 0，
∴n = - $\sqrt{2} - 1$；
当m ＜ 0时，轴点函数y = mx² + nx + t的顶点P在DE边上，即P(x,2t)，如图
(2)，
$\begin{cases}4mt^2 - 2nt + t = 0\\- \frac{n}{2m} = t\end{cases}$，
消去m，t，得n² + 2n - 1 = 0，解得$n_1 = \sqrt{2} - 1$，$n_2 = - \sqrt{2} - 1$.
∵函数y = mx² + nx + t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n ＜ 0，
∴n = - $\sqrt{2} - 1$；
当m ＜ 0时，轴点函数y = mx² + nx + t的顶点P在DN边上，即P(t,s)，如图
(3)，



$\begin{cases}4mt^2 - 2nt + t = 0\\- \frac{n}{2m} = t\end{cases}$，
∴$n = \frac{1}{4}$.
综上所述，n的值为1或 - $\sqrt{2} - 1$或$\frac{1}{4}$.

4. (上海浦东新区期中)新定义:关于$x$轴对称的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.
(1)求抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$的“同轴对称抛物线”;
(2)如图,在平面直角坐标系中,点$B$是抛物线$L$:$y = ax^2 - 4ax + 1$上一点,点$B$的横坐标为$1$,过点$B$作$x$轴的垂线,交抛物线$L$的“同轴对称抛物线”于点$C$,分别作点$B,C$关于抛物线对称轴对称的点$D,E$.
①当四边形$BDEC$为正方形时,求$a$的值;
②在①的条件下,抛物线$L$的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数$y = x - 1$相交于点$M$和点$N$(其中$M$在$N$的左边),将抛物线$L$的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线$L'$与一次函数$y = x - 1$相交于点$P$和点$Q$(其中$P$在$Q$的左边),满足$PM + QN = MN$,在抛物线$L'$上有且仅有三个点$R_1,R_2,R_3$,使得$\triangle MNR_1$,$\triangle MNR_2$,$\triangle MNR_3$的面积均为定值$S$,请直接写出$R_1,R_2,R_3$的坐标.

答案：

(1)
∵y = - $\frac{1}{2}$x² + x + 1 = - $\frac{1}{2}$(x - 1)² + $\frac{3}{2}$，
∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为(1,- $\frac{3}{2}$)，
∴y = $\frac{1}{2}$(x - 1)² - $\frac{3}{2}$.
(2)①由题可知，B(1,1 - 3a)，
∴C(1,3a - 1).
∵抛物线y = ax² - 4ax + 1的对称轴为x = 2，
∴D(3,1 - 3a)，E(3,3a - 1)，
∴BD = CE = 2，
∴BC = 2 - 6a或BC = 6a - 2，
∴2 - 6a = 2或6a - 2 = 2，
∴a = 0(舍去)或a = $\frac{2}{3}$.
故a的值为$\frac{2}{3}$.
②R₁，R₂，R₃的坐标分别为($\frac{5}{4}$,$\frac{53}{12}$)，($\frac{5 + 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 + 30\sqrt{2}}{12}$)，($\frac{5 - 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 - 30\sqrt{2}}{12}$).理由如下:
由题意，得L的“同轴对称抛物线”的解析式为y = - $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x - 1，设抛物线向上平移t个单位后的新抛物线解析式为L':y = - $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x - 1 + t，联立y = - $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x - 1和y = x - 1，得- $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x - 1 = x - 1，
解得x = 0或$\frac{5}{2}$，即$x_P - x_Q = \frac{5}{2}$，$x_P · x_Q = 0$，
则$(x_Q - x_P)^2 = (x_Q + x_P)^2 - 4x_Px_Q = \frac{25}{4} + 6t$.
∵PM + QN = MN，
∴PQ = PM + QN + MN = 2MN.
∵直线y = x - 1和x轴的夹角为45°，则PQ = $\sqrt{2}(x_Q - x_P)$，MN = $\sqrt{2}(x_N - x_M)$，而PQ = 2MN，则$(x_Q - x_P)^2 = 4(x_N - x_M)^2$，即$\frac{25}{4} + 6t = 4 × \frac{25}{4}$，解得$t = \frac{25}{8}$，则L':y = - $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x + $\frac{17}{8}$；如图，设直线y = x - 1交y轴于点K(0,-1)，在x轴上方取点T，下方取点N'，过点T作直线TR//PQ且TR和抛物线L'只有一个交点R，取KN' = KN = KT，过点N'作N'R'//PQ，则此时，在抛物线L'上有且仅有三个点R₁，R₂，R₃使得△MNR₁，△MNR₂，△MNR₃的面积均为定值S.

设直线TR的解析式为y = x + m，联立并整理得- $\frac{2}{3}$x² + $\frac{5}{3}$x + $\frac{17}{8}$ - m = 0，则$\Delta = (\frac{5}{3})^2 - 4 × (-\frac{2}{3}) × (-m + \frac{17}{8}) = 0$，解得$m = \frac{19}{6}$，则直线TR的解析式为y = x + $\frac{19}{6}$，则点T(0,$\frac{19}{6}$)，
当$m = \frac{19}{6}$时，即- $\frac{2}{3}$x² + $\frac{8}{3}$x + $\frac{17}{8}$ = x + $\frac{19}{6}$，解得$x = \frac{5}{4}$，则点R($\frac{5}{4}$,$\frac{53}{12}$)；
则$KT = 1 + \frac{19}{6} = \frac{25}{6} = KN = KN'$，则点N'(0,- $\frac{31}{6}$)，则直线N'R'的解析式为y = x - $\frac{31}{6}$，联立$y = - \frac{2}{3}x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{17}{8}$和$y = x - \frac{31}{6}$得$- \frac{2}{3}x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{17}{8} = x - \frac{31}{6}$，解得$x = \frac{5 \pm 10\sqrt{2}}{4}$，则点R的坐标为($\frac{5 + 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 + 30\sqrt{2}}{12}$)或($\frac{5 - 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 - 30\sqrt{2}}{12}$).
综上，R₁，R₂，R₃的坐标分别为($\frac{5}{4}$,$\frac{53}{12}$)，($\frac{5 + 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 + 30\sqrt{2}}{12}$)，($\frac{5 - 10\sqrt{2}}{4}$,$\frac{-47 - 30\sqrt{2}}{12}$).