《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 半角模型(东营模拟)[问题情境]在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题。若四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $M,N$ 分别在边 $CD,BC$ 上，且 $\angle MAN = 45^{\circ}$，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。
(1)[初步尝试]如图(1)，将 $\triangle ADM$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到 $\triangle ABE$，连接 $MN$。用等式写出线段 $DM,BN,MN$ 之间的数量关系：MN=DM+BN；
(2)[类比探究]小明改变点的位置后，进一步探究：如图(2)，点 $M,N$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $CD,BC$ 的延长线上，$\angle MAN = 45^{\circ}$，连接 $MN$，用等式写出线段 $MN,DM,BN$ 之间的数量关系，并说明理由；
(3)[拓展延伸]其他小组提出新的探究方向：如图(3)，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$，点 $N,M$ 分别在边 $BC,CD$ 上，$\angle MAN = 60^{\circ}$，用等式写出线段 $BN,DM,MN$ 之间的数量关系，并说明理由。

答案：
1.　
(1)MN=DM+BN　[解析]由旋转的性质,可知AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°,∠ABE=∠D=90°,
∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°,
∴E,B,C三点共线.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EAM−∠MAN=45°=∠MAN.
　在△EAN和△MAN中，$\begin{cases} AE=AM,\\ \angle EAN=\angle MAN,\\ AN=AN,\end{cases}$
∴△EAN≌△MAN(SAS),
∴EN=MN.
∵EN=BE+BN,
∴MN=DM+BN.
(2)MN=BN−DM.理由如下:
　如图
(1),在BC上截取BE=MD,连接AE.
∵AB=AD,∠B=∠ADM=90°,
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴AE=AM,∠BAE=∠DAM.
∵∠DAM+∠DAN=45°,
∴∠BAE+∠DAN=45°,
∴∠EAN=45°=∠MAN.
　在△EAN和△MAN中，$\begin{cases} AE=AM,\\ \angle EAN=\angle MAN,\\ AN=AN,\end{cases}$
∴△EAN≌△MAN(SAS),
∴EN=MN.
∵EN=BN−BE,
∴MN=BN−DM.
　
(3)MN=DM+BN.理由如下：
　如图
(2)，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，
　利用旋转构造与
(1)中相似的模型
∴∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE.
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADE+∠ADC=180°,
∴E,D,C三点共线.
　同理
(1)可得△EAM≌△NAM,
∴MN=EM=DM+DE=DM+BN.