《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线$ y = -x^2 + 2mx - m^2 + 3m + 1 $($ m $为常数)。
(1) 用含$ m $的代数式表示抛物线顶点的坐标为(m,3m + 1)；
(2) 当抛物线的顶点在第二象限时，求$ m $的取值范围；
(3) 当$ -2 \leq x \leq 1 $时，$ y $先随$ x $的增大而增大，后随$ x $的增大而减小，且当$ x = 1 $时$ y $有最小值，求符合条件的整数$ m $的值；
(4) 已知$ \triangle ABC $三个顶点的坐标分别为$ A(0,1) $，$ B(0,-1) $，$ C(2,1) $。当抛物线与$ \triangle ABC $的边有两个公共点时，直接写出$ m $的取值范围。

答案：

(1)(m,3m + 1)　[解析]抛物线y = -x² + 2mx - m² + 3m + 1 = -(x - m)² + 3m + 1，
∴抛物线顶点坐标为(m,3m + 1).
(2)
∵抛物线的顶点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正
∴可得$\begin{cases}m ＜ 0\\3m + 1 ＞ 0\end{cases}$，解得 -$\frac{1}{3}$＜m＜0.
(3)
∵当 -2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线对称轴为直线x = m，
∴ -2＜m＜1，当x = -2时，y = -m² - m - 3，
　当x = 1时，y = -m² + 5m.
∵当x = 1时，y有最小值，
∴ -m² + 5m≤ -m² - m - 3，解得m≤ -$\frac{1}{2}$，
∴ -2＜m≤ -$\frac{1}{2}$.
∵m为整数，
∴m = -1.
(4)
∵抛物线顶点坐标为(m,3m + 1)，
∴顶点运动轨迹为直线y = 3x + 1，抛物线与y轴交点坐标为(0,-m² + 3m + 1)，如图
(1)所示，
　　　　 　　
　当抛物线对称轴右侧经过点B(0,-1)时，如图
(2)所示. -m² + 3m + 1 = -1，
　解得m = $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$(舍去)或m = $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$;
　m增大，当抛物线对称轴右侧经过点C(2,1)时，如图
(3)所示.
　　　　
1 = -2² + 4m - m² + 3m + 1，解得m = $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$或m = $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$(舍去)，
∴$\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$＜m＜$\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$;
　m继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线对称轴左侧经过点A(0,1)时， -m² + 3m + 1 = 1，解得m = 0(舍去)或m = 3;
　m增大，当抛物线对称轴左侧经过点C时，如图
(4)所示，m = $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$(舍去)或m = $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$，
∴3＜m＜$\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$.
综上所述，$\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$＜m＜$\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$或3＜m＜$\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$.

4. (淮安全湖一模)抛物线$ y = ax^2 + bx + c $的顶点为$ P $，作$ MN // x $轴交抛物线于点$ M,N $($ M $在$ N $的左侧)，交抛物线的对称轴于点$ H $，且$ PH = 1 $，则称$ \triangle PMN $为该抛物线的顶端三角形。
(1) 求抛物线$ y = \frac{1}{9}x^2 - 1 $的顶端三角形的面积；
(2) 下列说法正确的有①③(填序号)；
① 抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形；
② 当$ a ＜ 0 $时，若点$ P $的纵坐标为$ k $，则点$ H $的纵坐标为$ k + 1 $；
③ 当$ a ＞ 0 $时，若点$ P $的纵坐标为$ k $，则点$ H $的纵坐标为$ k + 1 $。
(3) 抛物线$ y = ax^2 + bx + c $的顶端三角形面积为$\frac{\sqrt{a}}{a}$(当a＞0时)或 -$\frac{\sqrt{-a}}{a}$(当a＜0时)；
(4) 已知抛物线$ y = ax^2 + bx + c $的顶端$ \triangle PMN $面积为2，且点$ K(1,1) $在线段$ MN $上，求$ a $的值及$ b,c $的取值范围。
答案见$ \boldsymbol{P47} $

答案：
(1)抛物线y = $\frac{1}{9}$x² - 1的顶点P的坐标为(0,-1).
∵PH = 1，
∴H(0,0)，
∴直线MN此时与x轴重合，在y = $\frac{1}{9}$x² - 1中，
　当y = 0时，$\frac{1}{9}$x² - 1 = 0，解得x₁ = -3，x₂ = 3，
∴M(-3,0)，N(3,0)，
∴MN = 6，
∴S△PMN = $\frac{1}{2}$MN·OP = $\frac{1}{2}$×6×1 = 3.
(2)①③　[解析]
∵MN//x轴交抛物线于点M，N(M在N的左侧)，
∴点M和点N关于对称轴对称，
∴PM = PN，
∴抛物线的顶点三角形一定是等腰三角形.故①正确;当a＜0时，由于MN//x轴交抛物线于点M，N(M在N 的左侧)，
∴MN一定在顶点P的下方.
∵PH = 1，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为k - 1.故②错误;
　当a＞0时，由于MN//x轴交抛物线于点M，N(M在N 的左侧)，
∴MN一定在顶点P的上方
∵PH = 1，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为k + 1.故③正确.
(3)$\frac{\sqrt{a}}{a}$(当a＞0时)或 -$\frac{\sqrt{-a}}{a}$(当a＜0时)
[解析]
∵点P是抛物线y = ax² + bx + c的顶点，
∴P(-$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b²}{4a}$).
　当a＞0时，
∵PH = 1，
∴H(-$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1)，
∴点M，N的纵坐标为$\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1.
　设M(m,$\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1)，N(n,$\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1)，
　令y = $\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1，则ax² + bx + c = $\frac{4ac - b²}{4a}$ + 1，
　整理，得ax² + bx + $\frac{b²}{4a}$ - 1 = 0，
∴m + n = -$\frac{b}{a}$，mn = $\frac{b² - 4a}{4a²}$，
∴(n - m)² = (m + n)² - 4mn = (-$\frac{b}{a}$)² - 4×$\frac{b² - 4a}{4a²}$ = $\frac{4}{a}$，
∴n - m = $\frac{2\sqrt{a}}{a}$，
∴S△PMN = $\frac{1}{2}$MN·PH = $\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{a}}{a}$×1 = $\frac{\sqrt{a}}{a}$;
当a＜0时，
∵PH = 1，
∴H(-$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b²}{4a}$ - 1)，设M(m,$\frac{4ac - b²}{4a}$ - 1)，N(n,$\frac{4ac - b²}{4a}$ - 1)，令y = $\frac{4ac - b²}{4a}$ - 1，则ax² + bx + c = $\frac{4ac - b²}{4a}$ - 1，整理，得ax² + bx + $\frac{b²}{4a}$ + 1 = 0，
∴m + n = -$\frac{b}{a}$，mn = $\frac{b² + 4a}{4a²}$，
∴(n - m)² = (m + n)² - 4mn = (-$\frac{b}{a}$)² - 4×$\frac{b² + 4a}{4a²}$ = -$\frac{4}{a}$，
∴n - m = $\frac{2\sqrt{-a}}{a}$，
∴S△PMN = $\frac{1}{2}$MN·PH = $\frac{1}{2}$×(-$\frac{2\sqrt{-a}}{a}$)×1 = -$\frac{\sqrt{-a}}{a}$(a＜0，注意符号).
(4)①当a＞0时.
∵抛物线y = ax² + bx + c的顶点△PMN面积为2，
∴$\frac{\sqrt{a}}{a}$ = 2，解得a = $\frac{1}{4}$.
∵y = ax² + bx + c = a(x + $\frac{b}{2a}$)² + $\frac{4ac - b²}{4a}$，
∴点P的坐标为(-2b,c - b²)，xN - xM = 4，
∴xN = 2 - 2b，xM = -2 - 2b.
∵点K(1,1)在MN上，则顶点在x轴上，即c - b² = 0，当点K与点M重合时， -2 - 2b = 1，解得b = -$\frac{3}{2}$，当点K 与点N重合时，2 - 2b = 1，解得b = $\frac{1}{2}$，
∴ -$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$.
∵c - b² = 0，
∴c = b².
∵ -$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$，
∴0≤b²≤$\frac{9}{4}$，
∴0≤c≤$\frac{9}{4}$.
∴当a = $\frac{1}{4}$时， -$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$，0≤c≤$\frac{9}{4}$.
②当a＜0时，则a = -$\frac{1}{4}$.
∵y = ax² + bx + c = a(x + $\frac{b}{2a}$)² + $\frac{4ac - b²}{4a}$，
∴点P的坐标为(2b,c + b²)，xN - xM = 4，
∴xN = 2 + 2b，xM = -2 + 2b.
∵PH = 1，K(1,1)在MN上，则顶点在直线y = 2上，即c + b² = 2，当点K与点M重合时， -2 + 2b = 1，解得b = $\frac{3}{2}$，当点K与点N重合时，2 + 2b = 1，解得b = -$\frac{1}{2}$，
∴ -$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{3}{2}$，
∴0≤b²≤$\frac{9}{4}$.
∵c + b² = 2，
∴c = 2 - b²，
∴2 - $\frac{9}{4}$≤2 - b²≤2 + 0，即 -$\frac{1}{4}$≤c≤2，
∴当a = -$\frac{1}{4}$时， -$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{3}{2}$， -$\frac{1}{4}$≤c≤2.
综上所述，当a = $\frac{1}{4}$时， -$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$，0≤c≤$\frac{9}{4}$；当a = -$\frac{1}{4}$时， -$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{3}{2}$， -$\frac{1}{4}$≤c≤2.