《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 胡不归模型 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$与直线$AB$交于点$A(0,-4)$，$B(4,0)$。
(1) 求该抛物线的函数解析式；
(2) 如图(1)，若点$H$是抛物线的顶点，在$x$轴上存在一点$G$，使$\triangle AHG$是等腰三角形，请直接写出点$G$的坐标；
(3) 如图(2)，点$P$为直线$AB$下方抛物线上的一动点，过点$P$作$PM \perp AB$交$AB$于点$M$，过点$P$作$y$轴的平行线交$x$轴于点$N$，求$\sqrt{2}PM + PN$的最大值及此时点$P$的坐标。

答案：
3.
(1)将点A(0，-4)，B(4,0)代入$y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$，
得$\begin{cases}c = -4\frac{1}{2} × 16 + 4b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -1\\c = -4\end{cases}$，
∴$y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$。
(2)
∵$y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{9}{2}$，
∴H(1，$-\frac{9}{2}$)。设G(x,0)。
∵△AGH为等腰三角形，
∴GA = GH，
∴$(x - 1)^2 + \frac{81}{4} = x^2 + 16$，解得x = $\frac{21}{8}$，
∴G($\frac{21}{8}$,0)。
(3)如图，设PN与AB交于点Q。
∵OA = OB = 4，
∴∠OBA = 45°。
∵PN⊥OB，
∴∠MQP = 45°，
∴PQ = $\sqrt{2}$MP，
由“$\sqrt{2}$”联想等腰直角三角形实现线段的转化
∴$\sqrt{2}$PM + PN = PQ + PN。
由点A，B坐标易得直线AB的解析式为y = x - 4
设P$(m，\frac{1}{2}m^2 - m - 4)$，
则N(m,0)，Q(m，m - 4)，
∴PQ = m - 4 - $\frac{1}{2}m^2 + m + 4 = -\frac{1}{2}m^2 + 2m$，
∴$\sqrt{2}$PM + PN = PQ + PN = $-\frac{1}{2}m^2 + 2m - \frac{1}{2}m^2 + m + 4 = -m^2 + 3m + 4 = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$，
∴当m = $\frac{3}{2}$时，$\sqrt{2}$PM + PN有最大值为$\frac{25}{4}$，此时P($\frac{3}{2}$，$-\frac{35}{8}$)。
　　　　　　　　　　　　　　　

4. 在平面直角坐标系中，点$A(-3,0)$，点$B(0,3)$，抛物线$y = -x^2 + bx + c$（$b$，$c$为常数，$b \lt 0$）的顶点为$P$。
(1) 当抛物线经过点$A$，点$B$时，求点$P$的坐标；
(2) 若$c = 4 - \frac{b^2}{4}$，抛物线上的点$M$的横坐标为$m(m \lt \frac{b}{2})$，且$MP // AB$。
① 求$MP$的长；
② 当$AM + OP$取得最小值时，求点$M$的坐标。
答案见$P56$

答案：
4.
(1)将点A(−3,0)，点B(0,3)代入抛物线$y = -x^2 + bx + c$，(b，c为常数，b ＜ 0)，得$\begin{cases}-9 - 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2\\c = 3\end{cases}$，
∴抛物线表达式为$y = -x^2 - 2x + 3$。
∵$y = -x^2 - 2x + 3 = -(x + 1)^2 + 4$，
∴点P的坐标为(-1,4)。
(2)①
∵$c = 4 - \frac{b^2}{4}$，
∴抛物线$y = -x^2 + bx + c = -x^2 + bx + 4 - \frac{b^2}{4} = -(x - \frac{b}{2})^2 + 4$，
∴P$(\frac{b}{2},4)$。
∵A(−3,0)，B(0,3)，
∴直线AB的解析式为y = x + 3。
∵MP//AB，
∴设直线MP的解析式为y = x + b'，
∴$\frac{b}{2} + b' = 4$，解得$b' = 4 - \frac{b}{2}$，
∴直线MP的解析式为$y = x + 4 - \frac{b}{2}$，
联立$\begin{cases}y = x + 4 - \frac{b}{2}\\y = -(x - \frac{b}{2})^2 + 4\end{cases}$
解得$x_1 = \frac{b}{2}$，$x_2 = \frac{b}{2} - 1$，
∴M$(\frac{b}{2} - 1,3)$，
∴MP = $\sqrt{(\frac{b}{2} - 1 - \frac{b}{2})^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2}$。
故MP的长为$\sqrt{2}$。
②如图。
∵M$(\frac{b}{2} - 1,3)$，P$(\frac{b}{2},4)$，
将A向右和向上各平移1个单位长度，得A'(-2,1)，
　　　　　
四边形AMPA'为平行四边形，
∴A'P = AM，
∴AM + OP = A'P + OP。
作点O关于直线y = 4的对称点O'(0,8)，连接A'O'交直线y = 4于点P'，
则A'P + OP = A'P + O'P ≥ A'O'，
当点P与P'重合时，A'P + OP取得最小值，即AM + OP取得最小值。
设直线A'O'的解析式为$y = px + t$，
∴$\begin{cases}-2p + t = 1\\t = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}p = \frac{7}{2}\\t = 8\end{cases}$，
∴直线A'O'的解析式为$y = \frac{7}{2}x + 8$，
当y = 4时，$x = -\frac{8}{7}$，
∴P'$(-\frac{8}{7},4)$，
∵$\frac{b}{2} = -\frac{8}{7}$，
∴$m = \frac{b}{2} - 1 = -\frac{15}{7}$，
∴点M的坐标为$(-\frac{15}{7},3)$。