《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 （石家庄一模）如图（1）和图（2），抛物线$ L_1:y=\frac{1}{4}(x-6)^2-16 $与$ x $轴交于$ A,B $两点，抛物线$ L_2:y=\frac{1}{4}x^2+bx+c $与$ x $轴交于点$ C(-10,0) $和点$ M(m,0) $，其中$ m \gt -10 $。抛物线$ L_1,L_2 $与$ y $轴分别交于点$ P,N $。

(1) 求$ A,B $两点的坐标；
(2) 如图（1），当点$ P,N $重合时，求抛物线$ L_2 $的函数解析式及其顶点坐标；
(3) 如图（2），连接$ MN $，若抛物线$ L_1 $的顶点落在由线段$ MN $及抛物线$ L_2 $围成的封闭图形内部（不含边界），求$ m $的取值范围。
思路分步拆解
(1) 抛物线$ L_1 $与$ x $轴交于$ A,B $两点，故令$ y=0 $，解一元二次方程即可。
(2) （第一步：求点$ P $的坐标）将$ x=\underline{0}$$$代入$ L_1:y=\frac{1}{4}(x-6)^2-16 $，可得$$$P(\underline{0},\underline{-7}) $；
（第二步：求$ m $的值）设抛物线$ L_2 $的函数解析式为$ y=\frac{1}{4}(x+10)(x-m) $，将点$ P $的坐标代入可得$ m=\underline{4}$$$，即$ L_2:\underline{y=\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x-7} $。
(3) 当点$ (6,-16) $在抛物线$ L_2 $上时，$ m=\underline{8}$$$；当点$ (6,-16) $在线段$ MN $上时，$ m=\underline{10}$$$，即可求得$ m $的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵抛物线$L_1$的函数解析式为$y = \frac{1}{4}(x - 6)^{2} - 16$，令$y = 0$，
∴$0 = \frac{1}{4}(x - 6)^{2} - 16$，解得$x_1 = -2$，$x_2 = 14$，
∴点A的坐标是$(-2,0)$，点B的坐标是$(14,0)$。
(2)令$x = 0$，
∴$y = \frac{1}{4}(0 - 6)^{2} - 16 = -7$，
∴点P的坐标是$(0,-7)$。
∵抛物线$L_2:y = \frac{1}{4}x^{2} + bx + c$与$x$轴交于点$C(-10,0)$和点$M(m,0)$，
∴设抛物线$L_2$的函数解析式为$y = \frac{1}{4}(x + 10)(x - m)$，当点P，N重合时，将点$P(0,-7)$代入$y = \frac{1}{4}(x + 10)(x - m)$，得$-7 = \frac{1}{4}(0 + 10)(0 - m)$，解得$m = \frac{14}{5}$，
∴抛物线$L_2$的函数解析式为$y = \frac{1}{4}(x + 10)(x - \frac{14}{5})$，即$y = \frac{1}{4}x^{2} + \frac{9}{5}x - 7$，当$x = \frac{-10 + \frac{14}{5}}{2} = -\frac{18}{5}$时，$y = -\frac{256}{25}$，
∴抛物线$L_2$的顶点坐标是$(-\frac{18}{5},-\frac{256}{25})$。
(3)
∵抛物线$L_1$的函数解析式为$y = \frac{1}{4}(x - 6)^{2} - 16$，
∴其顶点坐标是$(6,-16)$，当点$(6,-16)$在抛物线$L_2$上时，$-16 = \frac{1}{4}(6 + 10)(6 - m)$，解得$m = 10$。
令$x = 0$，
∴$y = \frac{1}{4}(0 + 10)(0 - m) = -\frac{5}{2}m$，
∴$N(0,-\frac{5}{2}m)$。
又$M(m,0)$，
∴直线MN的解析式为$y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}m$，
当点$(6,-16)$在线段MN上时，$-16 = \frac{5}{2}×6 - \frac{5}{2}m$，解得$m = \frac{62}{5}$，
∴m的取值范围是$10 ＜ m ＜ \frac{62}{5}$。