《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 转化思想 已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象与二次函数$y = ax^2 + x - 1$的图象相交于点$A(2,2)$。
(1)求反比例函数与二次函数的解析式；
(2)若反比例函数图象上有一点$P$，点$P$的横坐标为$1$，求$\triangle AOP$的面积。

答案： 1.
(1)把A(2,2)代入y = $\frac{k}{x}$,得k = 2×2 = 4,
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{4}{x}$.
把(2,2)代入y = ax² + x - 1,得4a + 2 - 1 = 2,
解得a = $\frac{1}{4}$,
∴二次函数的解析式为y = $\frac{1}{4}$x² + x - 1.
(2)当x = 1时,y = $\frac{4}{x}$ = 4,则P(1,4),
所以△AOP的面积 = $\frac{1}{2}$×(2 + 4)×1 = 3.
双曲线上两点和原点组成的三角形面积等于这两点和x轴的垂直交点所构成的梯形的面积

2. 中考新考法 新定义问题 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为$6$，则称这个点为“和六点”。已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,4)$，二次函数$y = ax^2 + bx(a \neq 0)$的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若$x ＞ 0$，请直接写出$\frac{k}{x} ＞ ax^2 + bx$的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于$A$，$B$（点$A$的横坐标小于点$B$的横坐标）两点，$P$为抛物线对称轴上一动点。若$\triangle PAB$是以$A$为顶点的等腰三角形，求点$P$的坐标。

答案：
2.
(1)
∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象经过点A(2,4),
∴k = 2×4 = 8,
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{8}{x}$.
设反比例函数上的“和六点”为(m,$\frac{8}{m}$),
∴m + $\frac{8}{m}$ = 6,解得$m_1 = 2$，$m_2 = 4$,
经检验,$m_1 = 2$，$m_2 = 4$都是原方程的解,
∴反比例函数图象上的“和六点”为(2,4),(4,2)，
∴二次函数y = ax² + bx(a≠0)的图象经过(2,4),(4,2),
∴$\begin{cases}4a + 2b = 4,\\16a + 4b = 2.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{3}{4},\\b = \frac{7}{2}.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为y = -$\frac{3}{4}$x² + $\frac{7}{2}$x.
(2)函数大致图象如图，

由函数图象可知，当x ＞ 0时,$\frac{k}{x}$ ＞ ax² + bx的解集为0 ＜ x ＜ 2或x ＞ 4.
(3)抛物线y = -$\frac{3}{4}$x² + $\frac{7}{2}$x的对称轴为直线$x = \frac{7}{2×(-\frac{3}{4})}=\frac{7}{3}$.
∵点P在抛物线对称轴上,
∴可设P($\frac{7}{3}$,n).
∵点A的横坐标小于点B的横坐标，
∴A(2,4),B(4,2).
∵△PAB是以A为顶点的等腰三角形，
∴AP = AB.
∵AP² = $(2 - \frac{7}{3})^{2} + (4 - n)^{2} = n^{2} - 8n + \frac{145}{9}$,
AB² = $(4 - 2)^{2} + (2 - 4)^{2} = 8$,
∴n² - 8n + $\frac{145}{9}$ = 8,解得$n_1 = 4 + \frac{\sqrt{71}}{3}$，$n_2 = 4 - \frac{\sqrt{71}}{3}$.
∴点P的坐标为($\frac{7}{3}$,4 + $\frac{\sqrt{71}}{3}$)或($\frac{7}{3}$,4 - $\frac{\sqrt{71}}{3}$).

3. 如图，二次函数与反比例函数的图象有公共点$A(-2,5)$，$□ ABCD$的顶点$B(-5,p)$在双曲线上，$C$，$D$两点在抛物线上。(点$C$在$y$轴负半轴上，点$D$在$x$轴正半轴上)
(1)求直线$AB$的解析式及$C$，$D$两点的坐标。
(2)第四象限的抛物线上是否存在点$E$，使得四边形$ACED$的面积最大？若存在，求出点$E$的坐标和面积的最大值；若不存在，请说明理由。
答案见$P51$

答案： 3.
(1)设反比例函数的解析式为y = $\frac{k}{x}$
∵反比例函数的图象经过点A(-2,5)和点B(-5,p),
∴5 = $\frac{k}{-2}$,
∴k = -10,
∴反比例函数的解析式为y = -$\frac{10}{x}$,
∴p = $\frac{10}{-5}$ = 2,
∴点B的坐标为(-5,2).设直线AB的解析式为y = mx + n,则$\begin{cases}-2m + n = 5,\\-5m + n = 2.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 7.\end{cases}$
∴直线AB的解析式为y = x + 7.
在▱ABCD中,AB//CD,设CD的解析式为y = x + c，
∴C(0,c),D(-c,0).
∵CD = AB,
∴CD² = AB²,
∴c² + c² = (-5 + 2)² + (2 - 5)²,
∴c = -3,
∴点C,D的坐标分别是(0,-3),(3,0).
(2)存在.理由如下:
设二次函数的解析式为y = ax² + bx - 3,
把点A(-2,5),D(3,0)代入,
得$\begin{cases}4a - 2b - 3 = 5,\\9a + 3b - 3 = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为y = x² - 2x - 3,假设第四象限的抛物线上存在点E,使得△CDE的面积最大.设E(k,k² - 2k - 3),如图,过点E作x轴的垂线交CD于点F,则F(k,k - 3).
则$S_{\triangle CDE} = S_{\triangle EFC} + S_{\triangle EFD} = \frac{1}{2}EF· OD = \frac{3}{2}[(k - 3) - (k^{2} - 2k - 3)] = -\frac{3}{2}(k^{2} - 3k) = -\frac{3}{2}(k - \frac{3}{2})^{2} + \frac{27}{8}$
∴当k = $\frac{3}{2}$时，△CDE的面积最大值为$\frac{27}{8}$,此时点E的坐标为($\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{4}$).
∵A(-2,5),C(0,-3),D(3,0),
∴△ACD的面积为定值.
∵直线AD的解析式为y = -x + 3,
∴直线AD交y轴于点K(0,3),
∴$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ACK} + S_{\triangle CKD} = \frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×3 = 15$,
∴四边形ACED的面积的最大值为$15 + \frac{27}{8} = \frac{147}{8}$.