《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 平面直角坐标系中，有抛物线$ y = \frac{1}{2m}x^2 + x + \frac{m}{2} - 1 $和线段$ AB $，抛物线的顶点为$ M $，线段端点分别$ A(m - 10, 2) $，$ B(m, 2) $。
(1) 若抛物线恰好经过点$ B $，求此时$ m $的值。
(2) ①点$ M $的坐标为(用含有$ m $的代数式表示)；
②若线段$ AB $与抛物线有一个公共点，求$ m $的取值范围。

答案：
1.
(1)把B(m,2)代入y=$\frac{1}{2m}$x²+x+$\frac{m}{2}$−1,得$\frac{m}{2}$+m+$\frac{m}{2}$−1=2,
∴m=$\frac{3}{2}$.
(2)①(−m,−1)　[解析]
∵y=$\frac{1}{2m}$x²+x+$\frac{m}{2}$−1=$\frac{1}{2m}$(x²+2mx+m²−m²)+$\frac{m}{2}$−1=$\frac{1}{2m}$(x+m)²−1,
∴抛物线的顶点M的坐标为(−m,−1).
②如图.
　　　　　　
∵抛物线的顶点为(−m,−1),抛物线与线段AB有一个公共点，
∴抛物线的开口向上，
∴m＞0,观察图象可知,当0＜m＜$\frac{3}{2}$时，抛物线与线段AB有1个公共点;当−m−(m−10)＜m−(−m),即m＞$\frac{5}{2}$时，抛物线与线段AB有1个公共点.故满足条件的m的值为0＜m＜$\frac{3}{2}$或m＞$\frac{5}{2}$.

2.（盐城盐都区模拟）已知二次函数$ y = x^2 - 2mx + m^2 + m + 1 $的图象为$ C $。
(1) 用$ m $表示图象$ C $的顶点坐标；
(2) 证明：当$ m \lt -1 $时，图象$ C $与$ x $轴有两个交点；
(3) 记一次函数$ y = mx + m $（$ m $是常数，$ m \neq 0 $，$ -1 \leq x \leq 4 $）的图象为线段$ AB $，若图象$ C $与线段$ AB $恰有一个公共点，直接写出$ m $的取值范围。

答案：
2.
(1)整理y=x²−2mx+m²+m+1,可得y=(x−m)²+m+1,
∴图象C的顶点坐标为(m,m+1).
(2)当y=0时,可得x²−2mx+m²+m+1=0,
∴△=b²−4ac=(−2m)²−4×1×(m²+m+1),整理,得△=−4(m+1),当m＜−1时,△=−4(m+1)＞0,
∴方程x²−2mx+m²+m+1=0有两个不相等的实数根，
∴图象C与x轴有两个交点.
(3)①一次函数y=mx+m(m是常数,m≠0,−1≤x≤4)的图象为线段AB,当x=−1时，y=0;当x=4时，y=5m,依题意，图象C与线段AB恰有一个公共点，如图
(1),当m＞0时，设点A的坐标为(−1,0),点B的坐标为(4,5m),
当x=−1时，y=(−1−m)²+m+1≥0,解得m≥−1或m≤−2;当x=4时，y=(4−m)²+m+1≤5m,解得6−$\sqrt{19}$≤m≤6+$\sqrt{19}$;

②如图
(2)，当m＜0时，
$\begin{cases}(-1-m)^{2}+m + 1\leq0,\\(4-m)^{2}+m + 1\geq5m.\end{cases}$解得−2≤m≤−1;
③当一次函数y=mx+m与二次函数y=x²−2mx+m²+m+1联立方程，得到关于x的一元二次方程x²-2mx+m²+m+1=mx+m,当该一元二次方程有两个相等实数根时,整理，得x²−3mx+m²+1=0,
∴△=(−3m)²−4×(m²+1)=0,解得m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时，交点横坐标分别为x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或−$\frac{3\sqrt{5}}{5}$(不在x取值范围内，舍去).综上所述，6−$\sqrt{19}$≤m≤6+$\sqrt{19}$或−2≤m≤−1或m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，图象C与线段AB恰有一个公共点.