《2025年实验班中考数学压轴题》

1.(合肥巢湖七中一模)已知抛物线$ y = ax^2 + 2x + c $与$ x $轴交于点$ A $,$ B(2,0) $(点$ A $在点$ B $的左侧),与$ y $轴交于点$ C $,对称轴是直线$ x = \frac{1}{2} $,$ P $是第一象限内抛物线上一个动点,过点$ P $作$ PH \perp x $轴于点$ H $,与线段$ BC $交于点$ M $.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)当$ \triangle PMC $是以$ MC $为底边的等腰三角形时.
(i)求线段$ PM $的长.
(ii)已知$ Q $是直线$ PC $上一点,直线$ PM $上是否存在一点$ K $,使得以$ Q $,$ M $,$ C $,$ K $为顶点的四边形是矩形? 若存在,求出点$ K $的坐标;若不存在,请说明理由.
精题详解

答案：
1.
(1)已知抛物线$y = ax^{2} + 2x + c$与$x$轴交于点$A$，$B(2,0)$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，对称轴是直线$x = \frac{1}{2} = \frac{ - 2}{2a}$，则$a = - 2$。
将$a = - 2$以及点$B$的坐标代入$y = ax^{2} + 2x + c$，得$- 2 × 2^{2} + 2 × 2 + c = 0$，解得$c = 4$，$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = - 2x^{2} + 2x + 4$。
(2)(i)设直线$BC$的解析式为$y = kx + 4$，将点$B$的坐标代入，得$2k + 4 = 0$，解得$k = - 2$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = - 2x + 4$。
设$P(m, - 2m^{2} + 2m + 4)(0 ＜ m ＜ 2)$，则$M(m, - 2m + 4)$，
$\therefore PM = - 2m^{2} + 2m + 4 + 2m - 4 = - 2m^{2} + 4m$。
由题意知$PM = PC = - 2m^{2} + 4m$。
如图
(1)，过点$C$作$CE\bot PH$于点$E$，则$CE = m$，
$\therefore PE = EH - PH = 4 + 2m^{2} - 2m - 4 = 2m^{2} - 2m$。
在$Rt\triangle CEP$中，由勾股定理，得$( - 2m^{2} + 4m)^{2} = m^{2} + (2m^{2} - 2m)^{2}$，解得$m = 0$(舍去)或$\frac{11}{8}$，$\therefore PM = - 2 × (\frac{11}{8})^{2} + 4 × \frac{11}{8} = \frac{55}{32}$。

(ii)存在.理由如下：
由(i)可知$P(\frac{11}{8},\frac{95}{32})$，$M(\frac{11}{8},\frac{5}{4})$。
设直线$PC$的解析式为$y = k_{1}x + 4$，将点$P$的坐标代入，得$k_{1} = - \frac{3}{4}$，$\therefore y = - \frac{3}{4}x + 4$。
设$Q(q, - \frac{3}{4}q + 4)$，若以$Q$，$M$，$C$，$K$为顶点的四边形是矩形，只能是四边形$CMQK$(如图
(2))，
$\therefore CM// KQ$，$CM = KQ$，$KC\bot CM$。
$\because$点$C$先向右平移$\frac{11}{8}$个单位长度，再向下平移$\frac{11}{4}$个单位长度，得到点$M$，$\therefore$将点$K$先向右平移$\frac{11}{8}$个单位长度，再向下平移$\frac{11}{4}$个单位长度，得到点$Q$。
$\because$点$K$横坐标为$\frac{11}{8}$，$\therefore q = \frac{11}{8} + \frac{11}{8} = \frac{11}{4}$，$\therefore Q(\frac{11}{4},\frac{31}{16})$，
$\therefore$点$K$的纵坐标为$\frac{31}{16} + \frac{11}{4} = \frac{75}{16}$，$\therefore K(\frac{11}{8},\frac{75}{16})$。
由点$C$，$K$，$M$的坐标，得$CK^{2} = \frac{605}{256}$，$CM^{2} = \frac{605}{64}$，$KM^{2} = \frac{3025}{256}$，$\therefore CK^{2} + CM^{2} = KM^{2}$，$\angle KCM = 90^{\circ}$，则四边形$CMQK$为矩形，满足题意，
$\therefore$直线$PM$上存在一点$K$，使得以$Q$，$M$，$C$，$K$为顶点的四边形是矩形，点$K$的坐标为$(\frac{11}{8},\frac{75}{16})$。