《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 在平面直角坐标系中，抛物线$ y = -x^2 + 2mx - 4m $（$ x \leq 2m $，$ m $为常数）的图象记为$ G $。
(1) 当$ m = 4 $时，求图象$ G $最高点的坐标；
(2) 当图象$ G $与直线$ y = -2 $有且只有一个公共点时，求得的取值范围；
(3) 当图象$ G $的最高点到直线$ y = 2 $的距离为1时，求$ m $的值；
(4) 图象$ G $上点$ A $的横坐标为$ 2m $，点$ C $的坐标为$ (-2, -3) $，当$ AC $不与坐标轴平行时，以$ AC $为对角线作矩形$ ABCD $，使矩形的边与坐标轴平行，当图象$ G $与矩形$ ABCD $的边有四个公共点时，直接写出$ m $的取值范围。

答案： 3.
(1)当m=4时,抛物线为y=−x²+8x−16=−(x−4)²,且x≤8.
∵a=−1＜0,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−$\frac{b}{2a}$=4,x≤8,图象G最高点即为抛物线的顶点(4,0).
(2)①当x=2m时,y=−4m=−2,解得m=$\frac{1}{2}$,
∴当m＜$\frac{1}{2}$时，图象G与直线y=−2有唯一公共点;②y=−x²+2mx−4m=−(x−m)²+m²−4m,令m²−4m=−2,解得m1=2+$\sqrt{2}$,m2=2−$\sqrt{2}$.综上所述，当m＜$\frac{1}{2}$或m=2+$\sqrt{2}$或2−$\sqrt{2}$时，图象G与直线y=−2有唯一公共点.
(3)当m＜0时,令−4m=3,得m=−$\frac{3}{4}$;令−4m=1,得m=−$\frac{1}{4}$;当m≥0时,令m²−4m=1,解得m1=2+$\sqrt{5}$,m2=2−$\sqrt{5}$(舍去),令m²−4m=3,解得m3=2+$\sqrt{7}$,m4=2−$\sqrt{7}$(舍去).
综上所述，当m=−$\frac{3}{4}$或−$\frac{1}{4}$或2+$\sqrt{5}$或2+$\sqrt{7}$.
(4)由题意，设B(−2,−4m),D(2m,−3),若要满足图象G 与矩形ABCD的边有四个公共点，则图象G顶点坐标为(m,m²−4m),且图象G的顶点纵坐标大于−3,即m²−4m＞−3,且点D在图象G的外侧，即−(2m)²+2m·2m−4m＜−3.
故有$\begin{cases}m^{2}-4m＞-3,\\-(2m)^{2}+2m·2m-4m＜-3,\end{cases}$解得$\frac{3}{4}$＜m＜1或m＞3.故m的取值范围为$\frac{3}{4}$＜m＜1或m＞3.

4. 在平面直角坐标系中，抛物线$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + m $的顶点为$ P $，如图，点$ A(m, 0) $在$ x $轴正半轴上，点$ C(0, 6 - m) $在$ y $轴正半轴上，以$ OA $，$ OC $为边作矩形$ OABC $。
(1) 当点$ P $在直线$ BC $上时，求对应的抛物线的函数关系式；
(2) 点$ B $是否会落在抛物线的下方，请说明理由；
(3) 若矩形$ OABC $的各边与抛物线共有2个公共点时，求$ m $的取值范围。
答案见P48

答案：
4.
(1)点P在边BC上时,yp=yc,m=6−m,解得m=3,对应的抛物线的函数关系式y=−$\frac{1}{2}$x²+2x+1.
(2)点B不会落在抛物线的下方.理由如下:
如图
(1),
设直线AB与抛物线的交点为D，当x=m时,yD=−$\frac{1}{2}$m²+2m−2+m=−$\frac{1}{2}$m²+3m−2,yB−yD=(6−m)−(−$\frac{1}{2}$m²+3m−2)=$\frac{1}{2}$(m−4)²≥0，点B不会落在抛物线的下方.
　　　 　　　
(3)当点A在抛物线上且在抛物线左侧时，如图
(2)所示，−$\frac{1}{2}$m²+2m−2+m=0,解得m1=3−$\sqrt{5}$,m2=3+$\sqrt{5}$(不符合题意，舍去),当m=3−$\sqrt{5}$时，抛物线与矩形OABC的各边共有一个交点.
当点P落在BC上时，如图
(3)所示，
即当m=3时，抛物线与矩形OABC的各边共有三个交点.
∴当3−$\sqrt{5}$＜m＜3时，矩形OABC的各边与抛物线共有两个交点.
当点B在抛物线上时，如图
(4)所示，
yc−yB=0,6−m=−$\frac{1}{2}$m²+2m−2+m,解得m=4,此时矩形OABC的各边与抛物线共有两个交点.
∵点C(0,6−m)在y轴的正半轴上,
∴当4≤m＜6时，矩形OABC的各边与抛物线共有两个交点.综上所述，矩形OABC的各边与抛物线共有2个公共点时,m的取值范围是3−$\sqrt{5}$＜m＜3或4≤m＜6.