《2025年实验班中考数学压轴题》

2. (绵阳中考)如图,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有$1$个数为$2$,第二行有$2$个数为$4,6,·s$,第$n$行有$n$个数.探究其中规律,你认为第$n$行从左至右第$3$个数不可能是(C).

A.$36$
B.$96$
C.$226$
D.$426$

答案： 2.C　[解析]由题知，$2 = 1×2$，$6 = 2×3$，$12 = 3×4$，$20 = 4×5$，$30 = 5×6$，...，所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n + 1)$，则从第三行起，第$n$行的左起的第3个数可表示为$n(n - 1)+6$（$n$为大于或等于3的整数）。因为$5×6 + 6 = 36$，故A选项不符合题意；因为$9×10 + 6 = 96$，故B选项不符合题意；因为$14×15 + 6 = 216$，$15×16 + 6 = 246$，且$216＜226＜246$，故C选项符合题意；因为$20×21 + 6 = 426$，故D选项不符合题意。故选C。

3. (厦门集美区模拟)观察下列算式:
①$21×36 = 756$,$63×12 = 756$,即$21×36 = 63×12$;
②$12×84 = 1008$,$48×21 = 1008$,即$12×84 = 48×21$;
③$39×62 = 2418$,$26×93 = 2418$,即$39×62 = 26×93$;$·s$,我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”,根据你发现的规律,请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式:$\boldsymbol{$13×62(答案不唯一)$}$.

答案： 3.13×62(答案不唯一)　[解析]由题可知，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位上两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等，
∴满足题意的式子可以为13×62。

$4. ($东莞三模$)$如图$,$下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律$,$依此规律$,$用含有$a,b$的代数式表示$y,$即　　$b(a + 2)（$或$(a + 1)(b + 1)$　　

答案： 4.$b(a + 2)$（或$(a + 1)(b + 1)$）　[解析]由$6 = 2×(1 + 2)$，$20 = 4×(3 + 2)$，$42 = 6×(5 + 2)$，得$y = b(a + 2)$。

5. 新情境 修复城墙 (阳泉二模)山西平遥古城是著名世界文化遗产,其城墙某段修复工程中,工人师傅用青砖砌墙.第$1$层(底层)用了$200$块砖,第$2$层用$196$块砖,第$3$层用$192$块砖,第$4$层用了$188$块砖,$·s$,以此类推.若城墙共砌了$15$层,则第$15$层用了$\boldsymbol{$144$}$块砖.

答案： 5.144　[解析]每层砖数依次减少4块，构成等差数列，由题意可得第$n$层用了$-4n + 204$，计算第15层砖数将$n = 15$代入公式，得$-4×15 + 204 = 144$（块）。

6. 传统文化 “铺地锦” (河北中考)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图(1)所示的“表格算法”,图(1)表示$132×23$,运算结果为$3036$.图(2)表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图(2)中现有数据进行推断,正确的是(D).

A.“$20$”左边的数是$16$
B.“$20$”右边的“$\boldsymbol{□}$”表示$5$
C.运算结果小于$6000$
D.运算结果可以表示为$4100a + 1025$

答案：
6.D　[解析]设一个三位数与一个两位数分别为$100x + 10y + z$和$10m + n$，如图
(1)所示。
由题意，得$mz = 20$，$nz = 5$，$ny = 2$，$nx = a$，
∴$\frac{mz}{nz}=4$，即$m = 4n$，
∴当$n = 2$，$y = 1$时，$z = 2.5$不是正整数，不符合题意，故舍去；
　　　　 　　　
当$n = 1$，$y = 2$时，则$m = 4$，$z = 5$，$x = a$，如图
(2)所示。
∴A.“20”左边的数是$2×4 = 8$，故本选项不符合题意；
B.“20”右边的数表示4，故本选项不符合题意；
∵$a$上面的数应为$4a$，如图
(3)所示。
　　　　　　　　
∴运算结果可以表示为$1000(4a + 1)+100a + 20 + 5 = 4100a + 1025$，
∴D选项符合题意；当$a = 2$时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意。故选D。

7. 中考新考法 新定义问题 (枣庄滕州一模)定义一种对正整数$n$的“$F$”运算:①当$n$为奇数时,$F(n)=3n + 1$;②当$n$为偶数时,$F(n)=\frac{n}{2^{k}}$(其中$k$是使$F(n)$为奇数的正整数).两种运算交替进行,例如,取$n = 12$,则有如图所示的计算,按此规律继续计算,第$2025$次“$F$”运算的结果是\boldsymbol{1}.
$\boxed{12}\xrightarrow[第1次]{F②}\boxed{3}\xrightarrow[第2次]{F①}\boxed{10}\xrightarrow[第3次]{F②}\boxed{5}·..$

答案： 7.1　[解析]由题知，当$n = 12$时，
第1次“F”运算的结果是$\frac{12}{2^{2}} = 3$，
第2次“F”运算的结果是$3×3 + 1 = 10$，
第3次“F”运算的结果是$\frac{10}{2} = 5$，
第4次“F”运算的结果是$3×5 + 1 = 16$，
第5次“F”运算的结果是$\frac{16}{2^{4}} = 1$，
第6次“F”运算的结果是$3×1 + 1 = 4$，
第7次“F”运算的结果是$\frac{4}{2^{2}} = 1$，
第8次“F”运算的结果是$3×1 + 1 = 4$，…，
由此可见，从第5次“F”运算的结果开始，有时规律并不会在前几项就显现，需多算几步才能看出后面的第偶数次“F”运算的结果都是4，第奇数次“F”运算的结果都是1。又2025是奇数，
所以第2025次“F”运算的结果是1。