《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为边 $CD$ 的中点，连接 $AE$，$AE$ 与对角线 $BD$ 交于点 $F$，连接 $CF$，$BE$，且 $CF$ 与 $BE$ 交于点 $H$，连接 $DH$，则下列结论：
①$\angle BHF = 90°$；②$\cos\angle EFH = \dfrac{4}{5}$；③$DH^2 = CH · BH$；④$\triangle EHD \sim \triangle FDC$。其中正确的是 $\boldsymbol{$①②③$}$。(填序号即可)

思路分步拆解
(第一步：找到全等三角形)由“SAS”可证$\triangle ADE \cong \triangle BCE$，$\triangle ADF \cong \triangle CDF$，可得$\angle DCF = \angle $DAF$ = \angle $CBE$$，由余角的性质可证$BE $⊥$ CF$，即$\angle BHF = $90$°$；
(第二步：相似三角形对应边成比例)设$AB = BC = CD = AD = 2a$，则$DE = CE = a$，由三角形面积公式和三角函数求出$EH$的长，再由$\triangle ABF \sim \triangle EDF$和勾股定理求出$FH$的长，可得$\cos\angle EFH = $$\frac{4}{5}$$$；
(第三步：证明$\triangle EHN \sim \triangle EBC$)由相似三角形的性质分别求出$DH^2$的值为$$$\frac{8}{5}a^{2}$$$，$CH · BH$的值为$$$\frac{8}{5}a^{2}$$$，从而确定$DH^2$与$CH · BH$的大小关系；
(第四步：运用相似三角形的判定)求得$\dfrac{DH}{CD}$的值为$$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$$，$\dfrac{DE}{CF}$的值为$$$\frac{3\sqrt{5}}{10}$$$，可判断$\triangle EHD$与$\triangle FDC$不相似。

答案：
典例　思路分步拆解:DAF　CBE　⊥　90　$\frac{4}{5}$　$\frac{8}{5}a^{2}$ $\frac{8}{5}a^{2}$　$\frac{\sqrt{10}}{5}$　$\frac{3\sqrt{5}}{10}$
①②③　[解析]E为边CD的中点，
∴DE=CE.
又AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴∠DAE=∠CBE.
∵AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF，
∴∠DCF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠BEC+∠DCF=90°，
∴∠CHE=90°，
∴BE⊥CF，
∴∠BHF=90°，故①正确.
设AB=BC=CD=AD=2a，则DE=CE=a，BD=2$\sqrt{2}a$，
∴AE=BE=$\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}$=$\sqrt{5}a$.
∵$S_{\triangle BCE}$=$\frac{1}{2}$BC·CE=$\frac{1}{2}$BE·CH，
∴2a·a=$\sqrt{5}a ×$CH，
∴CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}a$.
∵tan∠BEC=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{CH}{HE}$，
∴HE=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}a · a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}a$，
∴BH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}a$.
∵AB//CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{DF}{BF}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{3}a$，AF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}a$，DF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$，
∴FH=$\sqrt{EF^{2}-HE^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}a$，
∴cos∠EFH=$\frac{FH}{EF}$=$\frac{4}{5}$，故②正确.
如图，过点H作HN//BC，交CD于点N，
∴∠DNH=∠BCD=90°，△EHN∽△EBC，
∴$\frac{EH}{BE}$=$\frac{EN}{EC}$=$\frac{HN}{BC}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{EN}{a}$=$\frac{HN}{2a}$，
∴EN=$\frac{1}{5}a$，HN=$\frac{2}{5}a$，
∴DN=$\frac{6}{5}a$，
∴$DH^{2}$=$DN^{2}$+$HN^{2}$=$\frac{36}{25}a^{2}$+$\frac{4}{25}a^{2}$=$\frac{8}{5}a^{2}$.
∵CH·BH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}a × \frac{4\sqrt{5}}{5}a$=$\frac{8}{5}a^{2}$，
∴$DH^{2}$=CH·BH，故③正确.
∵$\frac{DE}{CF}$=$\frac{a}{\frac{4\sqrt{5}}{15}a + \frac{2\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，$\frac{DH}{CD}$=$\frac{\sqrt{\frac{8}{5}a^{2}}}{2a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{DE}{CF} \neq \frac{DH}{CD}$，
∴△EHD与△FDC不相似，故④错误.