《2025年实验班中考数学压轴题》

2.(江苏无锡外国语学校)如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的图象与$ x $轴交于$ A(-1,0) $,$ B(3,0) $两点,与$ y $轴交于点$ C $,且抛物线的顶点$ D $的坐标为$ (1, 4) $,连接$ BC $,抛物线的对称轴与$ BC $交于点$ H $.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)在抛物线上$ B $,$ D $两点之间的部分(不包含$ B $,$ D $两点),是否存在点$ G $,使得$ S_{\triangle BGH} = 3S_{\triangle DGH} $,若存在,求出点$ G $的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),将抛物线在$ BC $上方的图象沿$ BC $折叠后与$ y $轴交于点$ E $,$ M $为直线$ x = 1 $上一个动点,在平面内是否存在一个点$ N $,使得以$ B $,$ E $,$ M $,$ N $为顶点的四边形是以$ BE $为对角线的矩形,若存在,求出点$ N $的坐标,若不存在,请说明理由.
(第2题)

答案：
2.
(1)设抛物线的函数解析式为$y = a(x - 1)^{2} + 4$，将点$B$的坐标代入，得$0 = a(3 - 1)^{2} + 4$，$\therefore a = - 1$，
$\therefore y = - (x - 1)^{2} + 4 = - x^{2} + 2x + 3$。
(2)如图
(1)，过点$G$作$GW\bot x$轴于点$W$，交$BC$于点$Q$。$\because B(3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = - x + 3$。
当$x = 1$时，$y = - 1 + 3 = 2$，$\therefore y_{H} = 2$，
$\therefore DH = y_{D} - y_{H} = 2$。
设$G(m, - m^{2} + 2m + 3)$，$Q(m, - m + 3)$，
$\therefore GQ = ( - m^{2} + 2m + 3) - ( - m + 3) = - m^{2} + 3m$，
$\therefore S_{\triangle BGH} = \frac{1}{2}GQ · (x_{B} - x_{H}) = \frac{1}{2}( - m^{2} + 3m) × (3 - 1) = - m^{2} + 3m$。
$\because S_{\triangle DGH} = \frac{1}{2}DH · (x_{G} - x_{H}) = \frac{1}{2} × 2 · (m - 1) = m - 1$，$S_{\triangle BGH} = 3S_{\triangle DGH}$，
$\therefore - m^{2} + 3m = 3(m - 1)$，$\therefore m = \sqrt{3}$或$m = - \sqrt{3}$(舍去)，
$\therefore$将$m = \sqrt{3}$代入$G(m, - m^{2} + 2m + 3)$，$\therefore G(\sqrt{3},2\sqrt{3})$。

(3)存在.如图
(2)，设点$E$关于$BC$的对称点为$F$，连接$CF$，
$\therefore \angle BCF = \angle BCE = 45^{\circ}$，$CE = CF$，
$\therefore \angle FCE = 90^{\circ}$，$\therefore$点$F$和点$C$关于直线$x = 1$对称，
$\therefore F(2,3)$，$\therefore CE = CF = 2$，$\therefore E(0,1)$。
$\because BE$是以$B$，$E$，$M$，$N$为顶点的矩形的对角线，
$\therefore \angle BME = 90^{\circ}$。设$M(1,n)$，
$\because EM^{2} = 1^{2} + (n - 1)^{2} = n^{2} - 2n + 2$，$BM^{2} = (3 - 1)^{2} + n^{2} = n^{2} + 4$，$BE^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$，
$\therefore n^{2} - 2n + 2 + n^{2} + 4 = 10$，
解得$n = 2$或$n = - 1$。
当$n = 2$时，$M(1,2)$，$\therefore N(2, - 1)$。
当$n = - 1$时，$M(1, - 1)$，$\therefore N(2,2)$。
综上所述，存在$N(2, - 1)$或$(2,2)$，使得以$B$，$E$，$M$，$N$为顶点的四边形是以$BE$为对角线的矩形。

3.如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,抛物线$ y = ax^2 - 2ax - 3a(a ＜ 0) $与$ x $轴交于$ A $,$ B $两点(点$ A $在点$ B $的左侧),经过点$ A $的直线$ l:y = kx + b $与$ y $轴负半轴交于点$ C $,与抛物线的另一个交点为$ D $,且$ CD = 4AC $.
(1)求出点$ A $的坐标和点$ D $的横坐标.
(2)点$ E $是直线$ l $上方的抛物线上的动点,若$ \triangle ACE $的面积的最大值为$ \frac{5}{4} $,求$ a $的值.
(3)设$ P $是抛物线对称轴上的一点,点$ Q $在抛物线上,以点$ A $,$ D $,$ P $,$ Q $为顶点的四边形能否成为矩形? 若能,直接写出点$ P $的坐标;若不能,请说明理由.

(第3题)
答案见P76

答案：
3.
(1)当$y = 0$时，$ax^{2} - 2ax - 3a = 0$，解得$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 3$，$\therefore A( - 1,0)$，$B(3,0)$。
$\because$直线$l\colon y = kx + b$过$A( - 1,0)$，$\therefore 0 = - k + b$，即$k = b$，
$\therefore$直线$l\colon y = kx + k$。$\because$抛物线与直线$l$交于点$A$，$D$，
$\therefore ax^{2} - 2ax - 3a = kx + k$，即$ax^{2} - (2a + k)x - 3a - k = 0$。
$\because CD = 4AC$，$\therefore$点$D$的横坐标为$4$。
(2)由
(1)知，点$D$的横坐标为$4$，$\therefore 16a - 8a - 4k - 3a - k = 0$，$\therefore k = a$，$\therefore$直线$l$的解析式为$y = ax + a$。
过点$E$作$EF// y$轴交直线$l$于点$F$，设$E(x,ax^{2} - 2ax - 3a)$，则$F(x,ax + a)$，$EF = ax^{2} - 2ax - 3a - ax - a = ax^{2} - 3ax - 4a$，
$\therefore S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AFE} - S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2}(ax^{2} - 3ax - 4a)(x + 1) - \frac{1}{2}(ax^{2} - 3ax - 4a)x = \frac{1}{2}a(x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{25}{8}a$，$\therefore \triangle ACE$的面积的最大值为$- \frac{25}{8}a$。
$\because \triangle ACE$的面积的最大值为$\frac{5}{4}$，
$\therefore - \frac{25}{8}a = \frac{5}{4}$，解得$a = - \frac{2}{5}$。
(3)以点$A$，$D$，$P$，$Q$为顶点的四边形能成为矩形。
令$ax^{2} - 2ax - 3a = ax + a$，即$ax^{2} - 3ax - 4a = 0$，解得$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 4$，$\therefore D(4,5a)$。
$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$设$P(1,m)$。
①如图
(1)，若$AD$是矩形$ADPQ$的一条边，则易得$Q( - 4,21a)$，$m = 21a + 5a = 26a$，则$P(1,26a)$。
$\because$四边形$ADPQ$是矩形，$\therefore \angle ADP = 90^{\circ}$，
$\therefore AD^{2} + PD^{2} = AP^{2}$，
$\therefore 5^{2} + (5a)^{2} + 3^{2} + (26a - 5a)^{2} = 2^{2} + (26a)^{2}$，即$a^{2} = \frac{1}{7}$
$\because a ＜ 0$，$\therefore a = - \frac{\sqrt{7}}{7}$，$\therefore P(1, - \frac{26\sqrt{7}}{7})$；

②如图
(2)，若$AD$是矩形$APDQ$的对角线，则易得$Q(2, - 3a)$，$m = 5a - ( - 3a) = 8a$，则$P(1,8a)$。
$\because$四边形$APDQ$是矩形，$\therefore \angle APD = 90^{\circ}$，
$\therefore AP^{2} + PD^{2} = AD^{2}$，$\therefore ( - 1 - 1)^{2} + (8a)^{2} + (1 - 4)^{2} + (8a - 5a)^{2} = 5^{2} + (5a)^{2}$，即$a^{2} = \frac{1}{4}$ $\because a ＜ 0$，$\therefore a = - \frac{1}{2}$，
$\therefore P(1, - 4)$。综上所述，以点$A$，$D$，$P$，$Q$为顶点的四边形能成为矩形，点$P$的坐标为$(1, - \frac{26\sqrt{7}}{7})$或$(1, - 4)$。