《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (深圳模拟)新定义:在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y = ax^{2}+bx(a \lt 0)$交$x$轴于$O,A$两点,交点之间的部分(含交点)记为$w_{1}$,$w_{1}$绕点$A$旋转$180^{\circ}$得到$w_{2}$,$w_{2}$与$x$轴交于$A,B$两点,将$w_{1}$与$w_{2}$合称为$S$形抛物线,对应的函数称为$S$形函数.如图(1),$w_{1}$的解析式为$y = -x^{2}+4x(0\leqslant x\leqslant 4)$.
(1)求$w_{2}$的解析式(不需要写出$x$的取值范围);
(2)如图(2),过点$A$的直线与$S$形抛物线交于$M,N$($M$在$N$的左边)两点,直线$x = -2$交直线$MN$于点$C$,交$x$轴于点$D$,$E$是点$D$关于点$A$的对称点,连接$EN$,若$CM = EN$,求点$M$的横坐标;
(3)若点$E(m,0)$,$C(8 - m,n)$,存在过点$A$的直线与$S$形抛物线交于点$M,N$,使得$CM = EN$,求$n$的取值范围.

(1)(第一步:确定已知参数)由解析式可以得出$w_{1}$的顶点为$($2$,$4$)$;
（第二步：利用几何变换的性质求未知参数）由于$w_{1}$绕点$A$旋转$180^{\circ}$

得到 $ w_{2} $，故 $ w_{1} $ 的顶点关于点 $ (4,0) $ 的对称点为 $ w_{2} $ 的顶点，$ w_{2} $ 的解析式中 $ a $ 值与 $ w_{1} $ 的解析式中的 $ a $ 值________，再由顶点式即可得 $ w_{2} $ 的解析式；

(2)设直线 $ MN $ 的解析式为 $ y = kx - 4k $，当 $ kx - 4k = -x^{2} + 4x $ 时，求出 $ M $ (______，________)，再由对称性求出 $ N $ (______，________)，由 $ CM = EN $，求出 $ k $ 值，可求点 $ M $ 的横坐标；

(3)由 $ CM = EN $ 可以得到等量关系，再应用二次函数性质求得 $ n $ 的取值范围，进而得解。

答案： 解:
(1)y=−x²+4x=−(x−2)²+4,
∴抛物线的顶点为(2,4)，点(2,4)关于点(4,0)的对称点为(6,−4),
∴w₂的解析式为y=(x - 6)² - 4 = x² - 12x + 32.
旋转180°不改变开口大小，但开口方向改变
(2)设直线MN的解析式为y=kx−4k,当kx−4k=−x²+4x时,解得x=4或x=−k,
∴M(−k,−k²−4k).
∵点C的横坐标为−2,
∴C(−2,−6k).
∵M,N关于点A对称，D,E关于点A对称，
∴N(8+k,k²+4k),E(10,0).
∵CM=EN,
∴(k−2)²+(−k²+2k)²=(k−2)²+(k²+4k)²,解得k=−1或k=0(舍去),
∴点M的横坐标为1.
(3)由
(2)可知,M(−k,−k²−4k),N(8+k,k²+4k).
∵CM=EN,
∴(8−m+k)²+(n+k²+4k)²=(8−m+k)²+(k²+4k)²,
∴n=0或n=−2k²−8k=−2(k+2)²+8≤8,
∴当n≤8时，存在过点A的直线与S形抛物线交于点M，N,使得CM=EN.