《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 如图，在菱形$ ABCD $中，$ \angle ABC = 60° $，$ E $是边$ BC $的中点，$ P $是对角线$ BD $上的一个动点，连接$ AE,AP $，若$ AP+\frac{1}{2}BP $的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是(B)。

A.$ AB $
B.$ AE $
C.$ BD $
D.$ BE $

答案：
1.B[解析]如图，过点P作PF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，且PF⊥BC,
∴PF=$\frac{1}{2}$BP,
∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+FP.
∵当A,P,F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值为AE.故选B.
　　　　　　　　　　　　　

2. (马鞍山一模)如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ \angle B = 30° $，$ AB = 4 $，$ D,F $分别是边$ AB,BC $上的动点，连接$ CD $，过点$ A $作$ AE\perp CD $交$ BC $于点$ E $，垂足为$ G $，连接$ GF $，则$ GF+\frac{1}{2}FB $的最小值是(C)。

A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}+1$

答案：
2.C[解析]如图,延长AC到点P,使CP=AC,连接BP,过点F作FH⊥BP于点H,取AC中点O,连接OG,过点O作OQ⊥BP于点Q.
　　　　　　　
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=4,
∴AC=CP=2,BP=AB=4,
∴△ABP是等边三角形,
∴∠FBH=30°,
∴在Rt△FHB中,FH=$\frac{1}{2}$FB,
∴当G,F,H在同一直线上时，GF+$\frac{1}{2}$FB=GF+FH=GH取得最小值.
∵AE⊥CD于点G,
∴∠AGC=90°.
∵O为AC中点,
∴OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AC=1,
∴A,C,G三点共圆，圆心为O,即点G在⊙O上运动,
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值.
∵在Rt△OPQ中,∠P=60°，OP=3,sinP=$\frac{OQ}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴GH最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ - 1.故选C.

3. (杭州钱塘区三模改编)如图，在正方形$ ABCD $中，点$ M,N $分别在边$ AB,BC $上(不与顶点重合)，且满足$ AM = BN $，连接$ AN,DM $交于点$ P $。$ E,F $分别是边$ AB,BC $的中点，连接$ PE,PF $，若正方形的边长为$ 8 $，则$ PE+\frac{1}{2}PF $的最小值为(A)。

A.$ 2\sqrt{5} $
B.$\sqrt{5}$
C.$ 3\sqrt{5} $
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案：
3.A[解析]如图，取AD中点O,连接OF，取OF中点G，连接EG,取OG中点H,连接PO,PH.
　　　　　　　　
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠DAM=∠B=90°.又AM=BN,
∴△AMD≌△BNA(SAS),
∴∠ADM=∠BAN.又∠ADM+∠DMA=90°,
∴∠BAN+∠DMA=90°,
∴∠APM=90°,
∴OP=$\frac{1}{2}$AD=4.
∵H为OG的中点，
∴OH=$\frac{1}{2}$OG=2.
∵$\frac{OH}{OP}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{OP}{OF}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OH}{OP}$=$\frac{OP}{OF}$.
∵∠POH=∠POH,
∴△OHP∽△OPF,
∴$\frac{HP}{PF}$=$\frac{OH}{OP}$=$\frac{1}{2}$,
∴HP=$\frac{1}{2}$PF,
∴PE+$\frac{1}{2}$PF=PE+HP.当H,P,E三点共线时,PE+HP最短,连接HE,即最小值即为HE,
∴HE=$\sqrt{HG^2 + EG^2}$=$\sqrt{2^2 + 4^2}$=2$\sqrt{5}$.故选A.

4. (盘锦第一完全中学三模)如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ \angle ABC = 30° $，$ AC = 6 $，按下列步骤作图：①在$ AC $和$ AB $上分别截取$ AD,AE $，使$ AD = AE $；②分别以点$ D $和点$ E $为圆心，以大于$ \frac{1}{2}DE $的长为半径作弧，两弧在$ \angle BAC $内交于点$ M $；③作射线$ AM $交$ BC $于点$ F $。若点$ P $是线段$ AF $上的一个动点，连接$ CP $，则$ CP+\frac{1}{2}AP $的最小值是(A)。

A.$ 3\sqrt{3} $
B.$ 2+3\sqrt{3} $
C.$ 1+3\sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案：
4.A[解析]如图，过点P作PQ⊥AB于点Q,过点C作CH⊥AB于点H.
　　　　　　　
　由题意知，AF平分∠BAC.
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴PQ=$\frac{1}{2}$AP,
∴CP+$\frac{1}{2}$AP=CP+PQ≥CH,
∴当C,P,Q三点共线，且与AB垂直时，CP+$\frac{1}{2}$AP最小，最小值为CH.
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,
∴AB=2AC=12,
∴BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=6$\sqrt{3}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CH,
∴CH=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{6×6\sqrt{3}}{12}$=3$\sqrt{3}$,即CP+$\frac{1}{2}$AP的最小值为3$\sqrt{3}$.故选A

5. 如图，在直角三角形$ ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ \angle ABC = 30° $，$ D $为$ BC $上一动点，连接$ AD $。若$ AC = 1 $，$ \triangle ABC $的面积为$ \frac{\sqrt{3}}{2} $，则$ AD+\frac{1}{2}BD $的最小值为$\sqrt{3}$。

答案：
5.　$\sqrt{3}$[解析]如图，延长AC到点E,使CE=AC，连接BE.过点D作DM⊥BE于点M.
　　　　　　　
∵∠ACB=90°,即BC⊥AE,
∴BC垂直平分AE，
∴AB=BE,
∴∠CBE=∠ABC=30°,
∴在Rt△BDM 中,DM=$\frac{1}{2}$BD,
∴AD+$\frac{1}{2}$BD的最小值即为AD+DM 的最小值.又当A,D,M三点共线时，AD + DM的值最小,
∴过点A作AN⊥BE于点N,AN长即为AD+DM 的最小值.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\frac{1}{2}$×1×BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴BC=$\sqrt{3}$.
∵∠BAE=90° - ∠ABC=60°,AB=BE,
∴△ABE是等边三角形.
∵AN⊥BE,
∴AN=BC=$\sqrt{3}$.

6. 如图，在平行四边形$ ABCD $中，$ \angle DAB = 60° $，$ AB = 8 $，$ BC = 2 $，$ P $为边$ CD $上的一动点，则$ PB+\frac{\sqrt{3}}{2}PD $的最小值等于4$\sqrt{3}$。

答案：
6.4$\sqrt{3}$　[解析]如图，过点P作PE⊥AD,交AD的延长线于点E.
　　　　　　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠EDP=∠DAB=60°.在Rt△EPD中,sin∠EDP=$\frac{EP}{DP}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD,
∴PB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD=PB+PE,
∴当B,P,E三点共线，且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE.
∵sin∠DAB=sin∠EDP=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$.

7. 如图，在$ \triangle ACE $中，$ \angle CAE = 30° $，半径为$ 5 $的$ \odot O $经过点$ C $，$ CE $是圆$ O $的切线，且圆的直径$ AB $在线段$ AE $上，设点$ D $是线段$ AC $上任意一点(不含端点)，则$ OD+\frac{1}{2}CD $的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

答案：
7.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$[解析]如图，过点C作AE的平行线，过点D作DH垂直该平行线于点H,连接OC.
　　　　　　　
∵CH//AB,∠CAE=30°,OC=OA,
∴∠HCA=∠OCA=30°,
∴sin∠HCD=$\frac{HD}{CD}$=$\frac{1}{2}$,∠HCO=60°,
∴HD=$\frac{1}{2}$CD,
∴OD+$\frac{1}{2}$CD=OD+DH.
∵当O,D,H三点共线，即图中当点H在点H'位置，点D在D'的位置时，OD+DH的值最小,最小值为OH',此时OH'=OC×sin∠HCO=OC×sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,
∴OD+$\frac{1}{2}$CD 的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.