《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 中考新考法 动点问题 （郴州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A(2,0),B(6,0)$，与$y$轴交于点$C(0,6)$。
(1) 求该抛物线的函数解析式。
(2) 如图(1)，$P$是该抛物线的对称轴$l$上的一个动点，求$\triangle PAC$周长的最小值及此时点$P$的坐标。
(3) 如图(2)，若$D$为线段$OC$的中点，点$Q$在该抛物线上运动，则当点$Q$运动到何处时，$\tan \angle QDB = \frac{1}{2}$？请求出所有符合条件的点$Q$的坐标。

答案：
1.
(1)将$A(2,0),B(6,0),C(0,6)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，
$\begin{cases}4a+2b+c=0,\\36a+6b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-4,\\c=6.\end{cases}$
$\therefore y=\frac{1}{2}x^{2}-4x+6$.
(2)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-4x+6=\frac{1}{2}(x-4)^{2}-2$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=4$.
如图
(1)，连接$BC$交对称轴于点$P$，连接$AP$.
$\therefore AP=BP$，
$\therefore AP+CP+AC=BP+CP+AC\geqslant BC+AC$.
当$B,C,P$三点共线时，$\triangle PAC$的周长最小.
$\because OB=OC=6$，$\therefore BC=6\sqrt{2}$.
$\because OA=2$，$OC=6$，$\therefore AC=2\sqrt{10}$，
$\therefore\triangle PAC$周长的最小值为$6\sqrt{2}+2\sqrt{10}$.
设直线$BC$的解析式为$y=kx+6$，
$\therefore6k+6=0$，
解得$k=-1$，$\therefore y=-x+6$，$\therefore P(4,2)$.

(3)$\because D$为线段$OC$的中点，$\therefore D(0,3)$，
$\therefore OD=3$.
$\because BO=6$，$\therefore\tan\angle OBD=\frac{1}{2}$.
$\because\tan\angle QDB=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle OBD=\angle QDB$，
如图
(2)，过点$D$作$DQ// x$轴，此时$\angle QDB=\angle OBD$，
$\therefore\frac{1}{2}x^{2}-4x+6=3$，解得$x=4-\sqrt{10}$或$x=4+\sqrt{10}$，
$\therefore Q(4-\sqrt{10},3)$或$(4+\sqrt{10},3)$.
如图
(3)，设直线$DQ$与$x$轴交于点$M$，
$\because\angle QDB=\angle OBD$，$\therefore DM=BM$.
在$Rt\triangle ODM$中，$(6-OM)^{2}=OM^{2}+OD^{2}$，
$\therefore(6-OM)^{2}=OM^{2}+9$，解得$OM=\frac{9}{4}$，$\therefore M(\frac{9}{4},0)$，
$\therefore$直线$DM$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+3$，当$-\frac{4}{3}x+3=\frac{1}{2}x^{2}-4x+6$时，解得$x=\frac{8-\sqrt{10}}{3}$或$x=\frac{8+\sqrt{10}}{3}$
$\therefore$点$Q$的坐标为$(\frac{8-\sqrt{10}}{3},-\frac{5+4\sqrt{10}}{9})$或$(\frac{8+\sqrt{10}}{3},-\frac{5-4\sqrt{10}}{9})$.
综上所述，点$Q$的坐标为$(4-\sqrt{10},3)$或$(4+\sqrt{10},3)$或$(\frac{8-\sqrt{10}}{3},-\frac{5+4\sqrt{10}}{9})$或$(\frac{8+\sqrt{10}}{3},-\frac{5-4\sqrt{10}}{9})$.

2. （甘肃中考）如图(1)，抛物线$y = a\left( x + \frac{5}{2} \right)(x - 4)(a \neq 0)$分别与$x$轴，$y$轴交于$A,B(0,-4)$两点，$M$为$OA$的中点。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 连接$AB$，过点$M$作$OA$的垂线，交$AB$于点$C$，交抛物线于点$D$，连接$BD$，求$\triangle BCD$的面积；
(3) 点$E$为线段$AB$上一动点（点$A$除外），将线段$OE$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$OF$。
① 当$AE = \sqrt{2}$时，请在图(2)中画出线段$OF$后，求点$F$的坐标，并判断点$F$是否在抛物线上，说明理由；
② 如图(3)，$P$是第四象限的一动点，$\angle OPA = 90°$，连接$PF$，当点$E$运动时，求$PF$的最小值。

答案：
2.
(1)把$B(0,-4)$代入$y=a(x+\frac{5}{2})(x-4)(a\neq0)$，
得$-10a=-4$，解得$a=\frac{2}{5}$，
$\therefore y=\frac{2}{5}(x+\frac{5}{2})(x-4)=\frac{2}{5}x^{2}-\frac{3}{5}x-4$.
(2)当$y=\frac{2}{5}(x+\frac{5}{2})(x-4)=0$时，
则$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=4$，$\therefore A(4,0)$.
$\because M$是$OA$的中点，$\therefore M(2,0)$，$\therefore OM=2$.
$\because B(0,-4)$，$\therefore$设直线$AB$的解析式为$y=kx-4$，把$A(4,0)$代入得$k=1$，
$\therefore y=x-4$.
$\because$过点$M$作$OA$的垂线，交$AB$于点$C$，交抛物线于点$D$，
$\therefore C(2,-2)$，$D(2,-\frac{18}{5})$，$\therefore CD=-2+\frac{18}{5}=\frac{8}{5}$，
$\therefore\triangle BCD$的面积$=\frac{1}{2}CD· OM=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×2=\frac{8}{5}$.
(3)①点$F$在抛物线上，理由如下：
由题意，作图如图
(1)所示. 连接$BF$，作$FQ\perp OB$于点$Q$，
由
(2)可知，$OA=OB=4$，$\therefore\angle OAB=\angle OBA=45^{\circ}$.
$\because$将线段$OE$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$OF$，
$\therefore OE=OF$，$\angle EOF=90^{\circ}=\angle BOA$，$\therefore\angle AOE=\angle BOF$.
又$OA=OB$，$OE=OF$，$\therefore\triangle AOE\cong\triangle BOF(SAS)$，
$\therefore\angle OBF=\angle OAE=45^{\circ}$，$BF=AE=\sqrt{2}$.
$\because FQ\perp OB$，$\therefore\triangle FQB$为等腰直角三角形，
$\therefore FQ=BQ=\frac{\sqrt{2}}{2}BF=1$，
$\therefore OQ=OB-BQ=3$，$\therefore F(-1,-3)$.
对于$y=\frac{2}{5}x^{2}-\frac{3}{5}x-4$，
当$x=-1$时，$y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}-4=-3$，
$\therefore$点$F$在抛物线上.
②连接$BF$并延长，交$x$轴于点$G$，连接$PM$，$MF$，作$MH\perp BG$于点$H$，如图
(2)，
$\because\angle OPA=90^{\circ}$，$M$为$OA$的中点，$\therefore PM=\frac{1}{2}OA=2$.
$\because PF\geqslant MF-PM$，$\therefore$当$M$，$P$，$F$三点共线时，$PF$最小.
同①，可得$\angle OBF=\angle OAE=45^{\circ}$，
$\therefore$点$F$在射线$BG$上运动，
当$MF\perp BG$时，即点$F$与点$H$重合时，$MF$最小，此时$PF$最小为$MH-PM$.
$\because\angle OBG=45^{\circ}$，$\therefore\triangle OBG$为等腰直角三角形，
$\therefore OG=OB=4$，$\angle BGO=45^{\circ}$，
$\therefore\triangle MHG$为等腰直角三角形，
$\therefore MH=\frac{\sqrt{2}}{2}MG=3\sqrt{2}$，
$\therefore PF$的最小值为$MH-PM=3\sqrt{2}-2$.