《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

9. (1) 设 $ n $ 为正整数,图 3 - 10 中大正方形的面积为 $ 1 $ 个平方单位.

根据图 3 - 10 可得：
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + … + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} $.
运用代数方法进行验证：
设 $ S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + … + \frac{1}{2^{n - 1}} + \frac{1}{2^n} $,
$ 2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + … + \frac{1}{2^{n - 1}} $,
将以上两式相减,得 $ S = 1 - \frac{1}{2^n} $.
(2) 观察图 3 - 11,你得出了什么结论？

结合图 3 - 11 可得出结论：
$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + … + \frac{1}{3^n} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) $.
试用代数方法进行验证.
(3) 观察图 3 - 12,你得出了什么结论？

试结合图 3 - 12 先猜想：
$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + … + \frac{1}{4^n} = $ ______,
然后用代数方法进行验证.
(4) 设 $ m $,$ n $ 均为正整数,猜想：
$ \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m^3} + … + \frac{1}{m^n} = $ ______,
并尝试用代数方法验证你得到的结论.
(5) 如果 $ x \neq 0 $,$ n $ 为正整数,根据以上研究过程中得到的结论猜想：
$ 1 + x + x^2 + … + x^n = $ ______,
并用代数方法验证你得到的结论.

答案：
(2)、
(3)、
(4)、
(5)的验证方法可仿照
(1)略.
(3)结合图形可以得到 $3\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+\cdots +\frac{1}{4^{n}}\right)=1-\frac{1}{4^{n}}$.
$\therefore \frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+\cdots +\frac{1}{4^{n}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)$.
(4)$\frac{1}{m-1}\left(1-\frac{1}{m^{n}}\right)$.
(5)$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.