《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

12. 写出同时满足下列 $4$ 个条件的一个多项式：
① 这个多项式是三次三项式。
② 这个多项式含有字母 $x$ 和 $y$。
③ 这个多项式有常数项。
④ 这个多项式各项系数和为零。

答案： $x^2y + x - 2$（答案不唯一）

13. 已知代数式 $-(m - 2n)^{2}-2 - 3(m - 2n)^{3}+4(m - 2n)$。
(1) 把 $(m - 2n)$ 看成一个整体,将这个代数式按 $(m - 2n)$ 的降幂排列。
(2) 若 $m = 4$,$n = 1$,求这个代数式的值。

答案：
(1)$-3(m-2n)^{3}-(m-2n)^{2}+4(m-2n)-2.$
(2)当$m=4,n=1$时，代数式的值为$-22.$

14. 关于 $x$ 的多项式 $5x^{4}+n+(n + 1)x^{2}+(m - 2)x^{3}-3x$,若按 $x$ 的降幂排列,第二项是一次项。
(1) 求 $m$,$n$ 的值。
(2) 当 $x = -1$ 时,求这个多项式的值。

答案：
(1)$m=2,n=-1$.
(2)$5x^{4}-3x-1$，7.

15. 多项式 $-5x^{2}y^{m + 1}+3x^{n}y^{3}-\frac{1}{4}x^{3}+6$ 是六次四项式,求 $m$,$n$ 的取值范围。

答案： 若$-5x^{2}y^{m+1}$是最高次项，则$m=3,n=1,2;$若$3x^{n}y^{3}$是最高次项，则$n=3,m=0,1,2.$若$-5x^{2}y^{m+1}$和$3x^{n}y^{3}$都是6次项，则$m=n=3.$

16. 观察下列多项式： $a^{7}b - 2a^{6}b^{2}+3a^{5}b^{3}-4a^{4}b^{4}+…$。
(1) 写出这个多项式所呈现的两条规律。
(2) 按规律写出这个多项式的所有项,并指出它是几次几项式。
(3) 求这个多项式各项系数的和。
(4) 当 $a = -1$,$b = 1$ 时,求这个多项式的值。

答案：
(1)如，各项的次数都是8；是按a的降幂排列的；是按b的升幂排列的；各项的系数的绝对值与b的次数相同，奇数为正，偶数为负.
(2)$a^{7}b-2a^{6}b^{2}+3a^{5}b^{3}-4a^{4}b^{4}+5a^{3}b^{5}-6a^{2}b^{6}+7ab^{7}$，是八次七项式.
(3)$1-2+3-4+5-6+7=4$.
(4)-28.