《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

1. 如图 5 - 78,要使 $ AD // BC $,需添加什么条件？(至少写出 5 个满足的条件)

(1)______.
(2)______.
(3)______.
(4)______.
(5)______.

答案：
(1)∠ADB=∠CBD;
(2)∠ADC+∠BCD=180°;
(3)∠ADC=∠BCG;
(4)∠DAC=∠BCA;
(5)∠DAB+∠ABC=180°

2. (1)如图 5 - 79,$ AB // CD $,分别探讨六个图形中 $ \angle AEC $ 与 $ \angle BAE $,$ \angle DCE $ 之间的数量关系. 并请你从所得的关系中任意选取两个加以证明.

(2)在(1)的问题解答过程中,发现当点 $ E $ 的位置不同时,得到的结论有相同的也有不同的,若按图 5 - 80 把平面分为 6 个区域,请你指出点 $ E $ 在哪些区域时结论相同.

(3)如图 5 - 81,已知 $ MP_{1} // NP_{5} $,那么 $ \angle P_{1} $,$ \angle P_{2} $,$ \angle P_{3} $,$ \angle P_{4} $,$ \angle P_{5} $ 之间的关系如何？

(4)若像图 5 - 81 中那样的角有 $ 2n $ 个,即 $ \angle P_{1} $,$ \angle P_{2} $,$ \angle P_{3} $,…$ $,$ \angle P_{2n - 1} $,$ \angle P_{2n} $,且 $ MP_{1} // NP_{2n} $,那么 $ \angle P_{1} $,$ \angle P_{2} $,$ \angle P_{3} $,…$ $,$ \angle P_{2n - 1} $,$ \angle P_{2n} $ 之间的关系如何？($ n $ 为正整数)

答案：
(1)结合图形可以得到结论.图①:∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°.图②:∠AEC=∠BAE+∠DCE.图③:∠AEC=∠DCE-∠BAE.图④:∠AEC=∠BAE-∠DCE.图⑤:∠AEC=∠BAE-∠DCE.图⑥:∠AEC=∠DCE-∠BAE.以图①为例：过点E作直线MN//AB.
∴∠BAE+∠AEN=180°.
∵MN//AB,AB//CD,
∴MN//CD,
∴∠CEN+∠DCE=180°.
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.说明:其他问题的证明可仿照进行.
(2)点E在④⑤区域时结论相同,点E在③⑥区域时结论相同.
(3)结合右上图易得∠P₁+∠P₃+∠P₅=∠P₂+∠P₄.
(4)推广到一般得∠P₁+∠P₃+∠P₅+…+∠P₂ₙ₋₁=∠P₂+∠P₄+∠P₆+…+∠P₂ₙ.