《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

12. 指出下列各单项式的系数和次数：
$-\dfrac{x}{3}$,$5ab^{2}$,$a^{2}bc^{2}$,$\dfrac{-2x^{3}y^{3}}{7}$。

答案： $-\dfrac{1}{3},1$;5,3;1,5;$-\dfrac{2}{7},6$

13. 系数为$-\dfrac{5}{2}$,含有字母$a$,$b$的四次单项式有几种不同情况,把它们写出来。

答案： $-\dfrac{5}{2}a^{3}b,-\dfrac{5}{2}a^{2}b^{2},-\dfrac{5}{2}ab^{3}$

14. 根据单项式$x^{2}y^{a + 1}$的次数填表：
| $x^{2}y^{a + 1}$的次数 | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $a$的值 | | | | |
| $a^{2} + 2a + 1$ | | | | |
| $(a + 1)^{2}$ | | | | |

观察表中数据,你有什么发现？把你发现的结论写出来。

答案： 1,2,3,4; 4,9,16,25; 4,9,16,25; $a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}$

15. 要使$3x^{m}y^{n}$是三次单项式,请你试着写出正整数$m$,$n$的所有可能的值,并求出相应的$3m^{2} - 10mn + 3n^{2}$的值。

答案： $m=1,n=2$;或$m=2,n=1$, 分别代入代数式可得,代数式的值均为$-5$

16. 已知单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{m}z^{2}和4xy^{3}z^{n}$。
(1)当两个单项式的相同字母的次数相同时,这两个单项式的次数各是多少？
(2)当两个单项式的次数相同时,试写出$m与n$的关系式。

答案：
(1)$m=3,n=2$;两个单项式都是6次.
(2)$m+3=n+4$(或$m=n+1$)

17. 写出下列各组单项式的相同点和不同点。
(1)$2a^{2}b^{3}c和\dfrac{1}{2}a^{3}b^{2}c$。
(2)$-\dfrac{4}{5}x^{5}y^{3}z和\dfrac{3}{7}m^{3}n^{5}$。

答案：
(1)相同点:都是6次单项式;都含字母a,b,c; 系数都是正数;字母的次数有1次、2次、3次; 字母c的次数相同. 不同点:字母a,b的次数不同；系数一个为整数、一个为分数.
(2)可仿照
(1)来归纳,相同点、不同点略.

18. 观察下列单项式,发现规律：
$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},-9x^{5},…,-37x^{19},39x^{20},-41x^{21},…(1)$这组单项式的系数的符号规律为：_________。系数的绝对值规律为：_________。(2)这组单项式的次数的规律为：_________。(3)根据上面的归纳,可以猜想第n个单项式可表示为：_________。(4)请你根据猜想,写出第1020个、第1021个单项式。

答案：
(1)奇数项系数为负数,偶数项系数为正数,即系数为$(-1)^{n}$(n为正整数)； 系数的绝对值是从1开始的连续奇数,可表示为$(2n-1)$.
(2)字母x的次数与项数相同,即$x^{n}$.
(3)第n个单项式为$(-1)^{n}(2n-1)x^{n}.$
(4)$2039x^{1020},-2041x^{1021}.$