《2025年新课程学习指导七年级数学上册华师大版》

4. 如图 4 - 97,$ OA $ 表示北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向的一条射线.

(1) 画出北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向的射线 $ OB $.
(2) 画出南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向的射线 $ OC $.
(3) 结合图形计算：
$ \angle AOC $ 的度数是______,
$ \angle BOC $ 的度数是______.
(4) 图中所成的角中,互余的角有______对；除直角外,互补的角有______对.

答案： （1）图略.（2）图略.（3）$180°$，$90°$.（4）9，18.

5. 如图 4 - 98,把长方形纸片 $ EFGH $ 的一角 $ E $ 沿 $ BC $ 翻折,使点 $ E $ 落在点 $ A $ 处,$ BD $ 平分 $ \angle ABF $. 求 $ \angle CBD $ 的度数.

答案： 提示：已知$\angle FBD=\angle ABD$，由折叠特征可知$\angle CBA=\angle CBE$，$\therefore\angle CBA+\angle CBE+\angle FBD+\angle ABD=180°$，$\therefore\angle CBD=\angle CBA+\angle ABD=90°$.

6. 十八世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体的顶点数 ($ V $)、面数 ($ F $)、棱数 ($ E $) 之间存在一个有趣的关系式,称为欧拉公式. 请你观察图 4 - 99 中的几种简单多面体,解答后续问题：

(1) 结合上面的多面体,完成表格：
| 多面体 | 顶点数 $ /V $ | 面数 $ /F $ | 棱数 $ /E $ |
| 正四面体 | 4 | 4 | |
| 正方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |

(2) 你发现顶点数 ($ V $)、面数 ($ F $)、棱数 ($ E $) 之间存在的关系式是______.
(3) 一个多面体的面数比顶点数大 8,且有 30 条棱,这个多面体的面数是______.
(4) 一个玻璃饰品的外形是多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为 $ x $,八边形的个数为 $ y $,求 $ x + y $ 的值.

答案： （1）6，6.（2）$V+F-E=2$.（3）20.（4）14.